Materi Perpangkatan Lengkap

Bilangan Berpangkat

Bilangan berpangkat adalah bilangan yang memiliki pangkat. Jika a adalah bilangan riil dan  n bilangan bulat positif  maka  a^n (dibaca “a pangkat n”) adalah hasil kali n buah faktor yang masing-masing faktornya adalah a. Sehingga bentuk umum dari perpangkatan adalah

a^n=\underbrace{a\times a\times a\times...\times a}_{\mbox{n faktor}}         . . . (1)

a^n= Bilangan berpangkat

a= Bilangan pokok/basis

n= Pangkat/eksponen

Bilangan pokok dalam suatu perpangkatan disebut basis, dan banyaknya bilangan pokok yang digunakan dalam perkalian berulang disebut pangkat/eksponen.
Persamaan (1) menyatakan perkalian berulang bilangan pokok a  sebanyak n faktor. Maka, perpangkatan adalah perkalian berulang dari suatu bilangan yang sama.

Jenis-jenis bilangan berpangkat beserta sifat-sifatnya

Pangkat bilangan bulat dapat berupa bilangan bulat positif, nol, atau negative.

Bilangan berpangkat bulat positif

Pengertian bilangan berpangkat bulat positif
Jika a adalah bilangan riil dan  n bilangan bulat positif  maka  a^n (dibaca “a pangkat n”) adalah hasil kali n buah faktor yang masing-masing faktornya adalah a. Sehingga bentuk umum dari perpangkatan adalah

a^n=\underbrace{a\times a\times a\times \cdots \times a}_{\mbox{n faktor}}

a^n= Bilangan berpangkat

a= Bilangan pokok/basis

n= Pangkat/eksponen

Sifat-Sifat Operasi Perpangkatan Bilangan Berpangkat Bulat Positif

  1. Sifat Perkalian Bilangan Berpangkat
    Untuk  a \in \mathbb{R} dan m,n \in \mathbb{Z^+}  bilangan bulat positif, berlaku:

    a^m\times a^n=a^{m+n}

    Bukti:

        \begin{align*} a^m\times a^n&=\underbrace{a\times a\times a\times \cdots \times a}_{\mbox{m faktor}}\times \underbrace{a\times a\times a\times \cdots \times a}_{\mbox{n faktor}}\\ &=\underbrace{a\times a\times \cdots \times a\times a\times a\times \cdots \times a}_{\mbox{m+n faktor}}\\ &=a^{m+n} \end{align*}

  2. Sifat Pembagian Bilangan Berpangkat
    Untuk  a \in \mathbb{R}, a \neq dan m,n \in \mathbb{Z^+} yang memenuhi  m>n, berlaku:

    a^m\div a^n=\frac{a^m}{a^n}

    Ket: Jika a=0 maka, 0^0 (tidak tentu)
    Bukti:

        \begin{align*} a^m\div a^n&=\frac{\overbrace{a\times a\times a\times \cdots \times a}^{\mbox{m faktor}}}{\underbrace{a\times a\times a\times \cdots \times a}_{\mbox{n faktor}}}\\ &=\underbrace{a\times a\times a\times \cdots \times a}_{\mbox{m-n faktor}}\\ &=a^{m-n} \end{align*}

  3. Sifat pangkat dari bilangan berpangkat
    Untuk  a \in \mathbb{R} dan m,n \in \mathbb{Z^+}, berlaku:

    (a^m)^n=a^{(m\times n)}

    Bukti:

        \begin{align*} (a^m)^n&=\underbrace{a^m\times a^m\times a^m\times \cdots \times a^m}_{\mbox{n faktor}}\\ &=\underbrace{(a\times a\times \cdots \times a)\times (a\times a\times \cdots \times a)\times\cdots \times (a\times a\times \cdots \times a)}_{\mbox{mn faktor}}\\ &=a^{(m\times n)} \end{align*}

  4. Sifat Pangkat dari Perkalian Bilangan
    Untuk  a,b \in \mathbb{R} dan n \in \mathbb{Z^+}, berlaku:

    (ab)^n=a^n b^n

    Bukti:

        \begin{align*} (ab)^n&=\underbrace{ab\times ab\times ab\times \cdots \times ab}_{\mbox{n faktor}}\\ &=\underbrace{a\times  a\times \cdots \times a}_{\mbox{n faktor}}\times \underbrace{b\times b\times \cdots \times b}_{\mbox{n faktor}}\\ &=a^n b^n \end{align*}

  5. Sifat Pangkat dari Pembagian Bilangan

    Untuk  a,b \in \mathbb{R}, b\neq 0 dan n \in \mathbb{Z^+}, berlaku:

    (\frac {a}{b})^n=\frac {a^n}{b^n}

    Ket: jika b=0 maka, 0^0 (tidak tentu)
    Bukti:

        \begin{align*} (\frac {a}{b})^n&=\underbrace{\frac {a}{b}\times \frac {a}{b}\times \frac {a}{b}\times \cdots \times \frac {a}{b}}_{\mbox{n faktor}}\\ &=\frac {\overbrace{a\times a\times \cdots \times a}^{\mbox{n faktor}}}{\underbrace{b\times b\times \cdots \times b}_{\mbox{n faktor}}}\\ &=\frac {a^n}{b^n} \end{align*}

Bilangan Berpangkat Nol

Untuk  a\in \mathbb{R} dan a\neq 0, maka:

a^0=1

Ket: jika a=0 maka, 0^0 (tidak tentu)

Bukti:

    \begin{align*} a^0=a^{n-n}\\ &=\frac{a^n}{a^n}\\ &=1 \end{align*}

Bilangan Berpangkat Negatif

Untuk  a\in \mathbb{R} dan a\neq 0 didefinisikan:

a^{-n}=a^{\frac {1}{n}}

Definisi ini berasal dari bentuk berikut

Misalkan

    \begin{align*} a^m\div a^{m+n}&=a^{m-(m+n)}\\ &=a^{m-m-n}\\ &=a^{-n}\\ &=\frac {a^m}{a^ma^n}\\ &=\frac {1}{a^n} \end{align*}

Maka, a^{-n}=a^{\frac {1}{n}}

Pangkat Pecahan

jika  m bilangan real,  n bilangan bulat, bilangan asli dan n\geq 2 maka  a^{\frac {m}{n}}=\sqrt[n]{a^m}=(\sqrt[n]{a})^m

Jika a>0, maka berlaku untuk m dan n bilangan ganjil maupun genap.

Jika a<0, maka tidak berlaku untuk m dan n bilangan ganjil.

Sifat-sifat bilangan berpangkat dan bilangan rasional

Himpunan bilangan rasional adalah gabungan dari bilangan bulat dan pecahan. Selain itu, sifat-sifat bilangan berpangkat dengan pangkat  bulat juga berlaku pada bilangan berpangkat dengan pangkat pecahan. Dengan demikian, sifat-sifat bilangan dengan pangkat rasional dapat dituliskan sebagai berikut.

Jika a,b\in \mathbb{R}, a,b\neq 0,  serta m dan n bilangan rasional, maka berlaku :

  1. a^m\times a^n=a^{m+n}
  2. a^m\div a^n=\frac{a^m}{a^n}
  3. (a^m)^n=a^{(m\times n)}
  4. (ab)^n=a^nb^n

Menyelesaikan Persamaan Pangkat yang Sederhana

Suatu persamaan yang berpangkat mengandung variabel disebut persamaan pangkat atau eksponen.

Jika a^x=a^y maka x=y dengan syarat a\neq 0, a\neq 1

Persamaan dan Pertidaksamaan Eksponen

Persamaan Eksponen

Persamaan eksponen adalah persamaan yang eksponen dan bilangan pokoknya memuat variabel. Simaklah contoh-contoh berikut ini.

  • 4^{2x+1}=32^{x-3} merupakan persamaan eksponen yang eksponennya memuat variabel x.
  • (y+5)^{5y-1}=(y+5){5-y} merupakan persamaan eksponen yang eksponen dan bilangan pokoknya memuat variabel y.
  • 16^{t+2}\times 4^t+1 merupakan persamaan eksponen yang eksponennya memuat variabel t.

Ada beberapa bentuk persamaan eksponen ini, di antaranya:

  1. a^{f(x)}=a^m
    Jika a^{f(x)}=a^m, a>0 dan a\neq 0, maka f(x)=m.
    Penjelasan:
    Karna pernyataan Jika a^{f(x)}=a^m,a>0 dan a≠0, maka f(x)=m merupakan pernyataan berbentuk implikasi, maka dapat dinyatakan dalam P\to Q, yaitu
    P : a^{f(x)} =a^m,a>0, a≠0 dan
    Q : f(x)=m
    Dalam implikasi, apabila Q bernilai benar, maka benar atau salahnya P tetap akan memberikan pernyataan yang bernilai benar. Sehingga yang akan dituju adalah f(x)=m.
    Agar a^{f(x)} =a^m bernilai benar atau menghasilkan hasil yang sama, maka haruslah f(x)=m.
  2. a^{f(x)}=a^{g(x)}
    Jika a^{f(x)}=a^{g(x)}, a>0 dan a\neq 0, maka f(x)=g(x).
    Penjelasan:
    Karna pernyataan Jika a^f(x) =a^{g(x)},a>0 dan a\neq 0, maka f(x)=g(x) merupakan pernyataan berbentuk implikasi, maka dapat dinyatakan dalam P\to Q, yaitu
    P : a^f(x) =a^{g(x)}, a>0 dan a\neq 0 dan
    Q : f(x)=g(x)
    Dalam implikasi, apabila Q bernilai benar, maka benar atau salahnya P tetap akan memberikan pernyataan yang bernilai benar. Sehingga yang akan dituju adalah f(x)=g(x).
    Agar a^f(x) =a^{g(x)} bernilai benar atau menghasilkan hasil yang sama, maka haruslah f(x)=g(x).
  3. a^{f(x)}=b^{f(x)}
    Jika a^{f(x)}=b^{f(x)}, a, b>0 dan a, b\neq 1, dan a\neq b maka f(x)=0.
    Penjelasan:
    Bilangan pokok ruas kiri tidak sama dengan bilangan pokok ruas kanan, sedangkan pangkat ruas kiri sama dengan pangkat ruas kanan. Ruas kiri akan sama dengan ruas kanan jika pangkatnya nol (0).
  4. h(x)^{f(x)}=h(x)^{g(x)}
    Penyelesaian persamaan h(x)^{f(x)}=h(x)^{g(x)} adalah semua x yang memenuhi persamaan:
    h(x) = 0 dengan syarat f(x) > 0 dan g(x) > 0
    h(x) = 1
    h(x) = -1 dengan syarat f(x) dan g(x) keduanya ganjil atau keduanya genap
    h(x) \neq 0, h(x) \neq 1 dan f(x) = g(x)
  5. f(x)^{h(x)}=g(x)^{h(x)}
    Penyelesaian persamaan f(x)^{h(x)}=g(x)^{h(x)} adalah semua x yang memenuhi persamaan:
    f(x)=g(x)
    f(x)=-g(x), dengan syarat h(x) genap
    h(x)=0, dengan syarat f(x), g(x) \neq 0
  6. A(a^{f(x)})^2+B(a^{f(x)})+C=0, a>0, a \neq 1, A, B, C \in \mathbb{R}, A \neq 0
    Penjelasan:
    Terlebih dahulu, misalkan y=a^{f(x)}.
    Dari pemisalan ini diperoleh Ay^2+By+C=0. Nilai y yang diperoleh dari rumus ABC disubtitusi kembali pada pemisalan y=a^{f(x)}, sehingga diperoleh nilai x.

Pertidaksamaan Eksponen

Sebelumnya, kalian telah mengetahui sifat-sifat fungsi eksponen, yaitu sebagai berikut.

Untuk a>1, fungsi f(x)=a^x merupakan fungsi naik. Artinya, untuk setiap x_1,x_2\in R berlaku x_1<x_2 jika dan hanya jika f(x_1)<f(x_2).

Untuk 0<a<1, fungsi f(x)=a^x merupakan fungsi turun. Artinya, untuk setiap x_1,x_2\in R berlaku x_1<x_2 jika dan hanya jika f(x_1)<f(x_2).

Inilah kurang lebih materi dari perpangkatan.

Bagi Readers yang ingin contoh soal serta pembahasan dari perpangkatan, silahkan klik disini.

See you next time in tinmath readers 🙂

11 thoughts on “Materi Perpangkatan Lengkap

  1. Tulisan yang bermanfaat. Terima kasih.
    Ohya, saya mengakses tulisan ini lewat ponsel, dan terdapat beberapa formula yang melewati batas sebelah kanan halaman. Agar terlihat lebih rapi, menurut saya, hal seperti ini perlu dihindari. 🙂

  2. Typesetting nya loading dih, faoi bagus tampilannya, kerenn. Terus menulis tina, mmizinka jg kutip beberapa utk kubuatkan media pembelajaran dih

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *