Pembuktian Fungsi Trigonometri Menggunakan Lingkaran

Bismillah
Ada beberapa cara untuk membuktikan nilai dari fungsi trigonometri, tapi pada tulisan ini, kita akan membahas mengenai bukti dari fungsi trigonometri menggunakan lingkaran.

Misalkan saja, kenapa \sin 45^0=\frac{1}{2}\sqrt{2} ?

Karena kita menggunakan lingkaran dalam membuktikan nilai fungsi trigonometri, maka kita perlu tahu apa itu sebenarnya lingkaran?

Lingkaran adalah kumpulan/kedudukan titik-titik yang berjarak sama dari suatu titik tertentu yang biasa disebut pusat lingkaran.

Misalkan terdapat suatu lingkaran seperti dibawah ini

O adalah titik pusat lingkaran di (0,0) dan P(x,y) adalah salah satu titik yang berada pada lingkaran. Sehingga OP merupakan jari-jari lingkaran.

Asumsikan panjang OP=1, sehingga diperoleh x^2+y^2=1.

Bagaimana cara kita membuktikan nilai dari \sin 45^0 adalah \frac{1}{2}\sqrt{2} ?

Bukti:

Salah satu cara untuk membentuk sudut 45^0 adalah kita membentuk sudut tersebut dimulai dari titik B(1,0) menuju titik A(0,1) sebesar 45^0, seperti dibawah ini

Dari gambar diatas, kita peroleh bahwa x=y

Sehingga

    \begin{align*} x^2+x^2&=1\\ 2x^2&=1\\ x^2&=\frac{1}{2}\\ x&=\frac{1}{2}\sqrt{2} \cup x=-\frac{1}{2}\sqrt{2} \end{align*}

karna x>0 pada kuadran pertama, maka nilai yang memenuhi adalah x=\frac{1}{2}\sqrt{2}

Maka (x,y)=(\frac{1}{2}\sqrt{2},\frac{1}{2}\sqrt{2})

Jadi, nilai \sin45^0=\frac{1}{2}\sqrt{2}

Dari sini, kita juga telah megetahui nilai dari \cos45^0 yaitu \frac{1}{2}\sqrt{2}

Mungkin dari teman-teman masih ada belum tahu kenapa jika kita telah mengetahui nilai x dan y nya maka kita telah mengetahui nilai dari \sin dan \cos nya.

Disini kita perlu mengingat materi segitiga, yaitu \sin=\frac{y}{r} dan \cos=\frac{x}{r} (r adalah jari-jari lingkaran yang bernilai 1, sesuai dengan asumsi kita sebelumnya).

Sekarang kita coba yang lain yaaaah 🙂

Buktikan \tan60^0=\sqrt{3}

Bukti:

Pertama yang kita perlu ketahui bahwa \tan w=\frac{\sin w}{\cos w} atau pada segitiga \tan=\frac{y}{x}.

Salah satu cara untuk membentuk sudut 60^0 adalah kita membentuk sudut tersebut dimulai dari titik B(1,0) menuju titik A(0,1) sebesar 60^0, seperti dibawah ini

Dari gambar diatas, diketahui bahwa busur AP= busur PB (kasus sebelumnya pun memperlihatkan busur AP= busur PB, tetapi tepat membagi dua bagian dikuadran pertama).

Jadi, setelah membentuk sudut 60^0 dari B ke P, maka kita harus membentuk sudut 60^0 dari P ke A, agar busur AP= busur PB. Sehingga diperolehlah titik A(-x,y) (karena berada pada kuadran kedua).

karna busur AP= busur PB, maka

AP=PB

Sehingga

    \begin{align*} (-x-x)^2+(y-y)^2&=(x-1)^2+(y-0)^2\\ (-2x)^2&=x^2-2x+1+y^2\\ 4x^2&=x^2+y^2-2x+1 \end{align*}

karena x^2+y^2=1, maka

    \begin{align*} 4x^2&=-2x+2\\ 4x^2+2x-2&=0\\ 2(2x^2+x-1)&=0\\ 2((2x-1)(x+1))&=0\\ x&=\frac{1}{2} \cup x=-1 \end{align*}

karna x>0 pada kuadran pertama, maka nilai yang memenuhi adalah x=\frac{1}{2}

karena x^2+y^2=1, maka

    \begin{align*} (\frac{1}{2})^2+y^2&=1\\ (\frac{1}{4})^2+y^2&=1\\ y^2&=1-\frac{1}{4}\\ &=\frac{3}{4}\\ y&=\frac{1}{2}\sqrt{3} \cup y=-\frac{1}{2}\sqrt{3} \end{align*}

karna y>0 pada kuadran pertama, maka nilai yang memenuhi adalah y=\frac{1}{2}\sqrt{3}

Maka (x,y)=(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\sqrt{3})

Jadi, nilai \sin60^0=\frac{1}{2}\sqrt{3} dan \cos60^0=\frac{1}{2}

Diperoleh nilai

    \begin{align*} \tan60^0&=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{3}}{\frac{1}{2}}\\ &=\sqrt{3} \end{align*}

Mungkin itu saja pembahasan dan contoh dari pembuktian nilai fungsi trigonometri.

Untuk bukti-bukti lainnya, kalian dapat mengerjakannya sendiri dengan berpedoman dengan bukti yang telah dipaparkan diatas.

Kalau readers ingin latihan, disini saya menyediakan Latihan

Buktikan!

  1. \cos {\frac{\pi}{6}}=\frac{1}{2}\sqrt{3}
  2. \tan 120^0=-\sqrt{3}
  3. \csc {\frac{\pi}{3}}=\frac{2}{\sqrt{3}}
  4. \sin 300^0=-\frac{1}{2}

Selamat Latihan

Mudah-mudahan tulisan ini bermanfaat bagi kita semua
Kurangnya mohon dimaafkan yaaah readers 🙂
see you 🙂

2 thoughts on “Pembuktian Fungsi Trigonometri Menggunakan Lingkaran

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *