Pembahasan SOAL OSN SMP TAHUN 2015 Bagian A

  1. Dari tabel, dapat diketahui bahwa operasi * adalah perkalian, yaitu perkalian modulo 7. Sehingga diperoleh
    5^1=5 (sisa 5)
    5^2=25 (sisa 4 jika dibagi 7)
     5^3=125 (sisa 6 jika dibagi 7)
     5^4=625 (sisa 2 jika dibagi 7)
     5^5=3.125 (sisa 3 jika dibagi 7)
    5^6=15.625 (sisa 1 jika dibagi 7)
    5^7=78.125 (sisa 5 jika dibagi 7)
    .
    .
    .
    Jadi, mulai dari pangkat 7 sisanya berulang (sisa dari pangkat 1 sampai 6) . Sehingga, untuk mengetahui sisa dari 5^{2015}, cukup kita mengetahui sisa dari 2015 setelah dibagi 6.
    Diperoleh
    2015=6\times 335+5
    Sehingga sisa dari 5^5 sama dengan sisa 5^{2015}.
    Jadi, sisa 5^{2015} yaitu 3.
    Jawaban D
  2. Dik:
    Syarat himpunan S yaitu b<a dan b<c
    Syarat himpunan T yaitu a=c
    Dit:
    Banyaknya anggota S\cap T adalah …
    Penyelesaian:
    Banyaknya anggota dari S\cap T yaitu semua pasangan terurut dengan syarat b<a, b<c, dan a=c.
    Karena banyaknya himpunan dari A cukup banyak yaitu n(A)=50, maka
    Perhatikan bahwa
    Untuk n(A)=2 yaitu misalkan diambil A=(1, 2)
    Diperoleh pasangan terurut sebayak 1 yaitu (2,1,2)
    Untuk A={1,2,3}
    Diperoleh pasangan terurut sebayak 3 yaitu (2,1,2), (3,1,3), (3,2,3)
    Untuk A={1,2,3,4}
    Diperoleh pasangan terurut sebayak 6 yaitu (2,1,2), (3,1,3), (3,2,3), (4,1,4), (4,2,4), (4,3,4)
    Untuk A={1,2,3,4,5}
    Diperoleh pasangan terurut sebayak 10 yaitu (2,1,2), (3,1,3), (3,2,3), (4,1,4), (4,2,4), (4,3,4), (5,1,5), (5,2,5), (5,3,5), (5,4,5)
    .
    .
    Dari atas, diperoleh barisan {1, 3, 6, 10,\cdots }
    Jadi, dari barisan tersebut diperoleh rumus suku ke-n yaitu
    U_n=\frac{1}{2}n(n-1), n\geq 2, n\in \mathbb{N}
    Banyaknya anggota dari S\cap T sama saja dengan banyaknya solusi bulat dari

        \begin{align*} U_{50}&=\frac{1}{2}50(50-1)\\ &=25\cdot 49\\ &=1225 \end{align*}

    Banyaknya anggota S\cap T adalah 1225
    Jawaban B

  3. Rata-rata diperoleh dari jumlah nilai siswa dibagi banyaknya siswa
    Median adalah nilai tengah siswa
    Diketahui:
    Rata-rata = median
    Nilai tertinggi adalah Adi
    Nilai terendah adalah Eki
    Jadi cukup kita mengetahui banyaknya susunan nilai yang mungkin dari Budi, Cici, dan Didi, sehingga dapat diperoleh hasil yang benar yang memenuhi syarat rata-rata = median.
    Diperoleh
    10 9 7 5 4 (Nilai 9, 7, 5 yang mungkin dari Budi, Cici, dan Didi, sehingga terdapat 6 cara)
    10 8 7 6 4 (Nilai 8, 7, 6 yang mungkin dari Budi, Cici, dan Didi, sehingga terdapat 6 cara)
    10 6 6 4 4 (Nilai 6, 6, 4 yang mungkin dari Budi, Cici, dan Didi, sehingga terdapat 3 cara)
    10 7 7 7 4 (Ketiganya nilai 7, sehingga terdapat 1 cara)
    (karna tidak ada syarat bahwa nilai dari masing-masing siswa harus berbeda)
    Dari proses diatas, banyaknya susunan nilai yang mungkin yaitu 6+6+3+1=16 susunan.
    Jawaban D
  4. Perhatikan gambar dibawah ini

    Dik:
    AB adalah diameter lingkaran
    CD=DE
    Segitiga CDE siku-siku di D
    Jari-jari lingkaran adalah 1 cm
    Dit:
    Luas segitiga CDE=\cdots?
    Penyelesaian:
    Dari gambar diatas, ditarik garis bagi dari C ke O, sehingga panjang DO=OE
    Misalkan DO=OE=s, sehingga CD=2s
    Dengan menggunakan teorema phytagoras diperoleh

        \begin{align*} CE&=\sqrt{CD^2+DE^2}\\ &=\sqrt{(2s)^2+(2s)^2}\\ &=\sqrt{4s^2+4s^2}\\ &=\sqrt{8s^2}\\ &=2s\sqrt{2} \end{align*}

    Karena CO juga merupakan jari-jari, maka CO=1 cm
    Perhatikan Segitiga CDO

        \begin{align*} CO&=\sqrt{CD^2+DO^2}\\ 1&=\sqrt{(2s)^2+s^2}\\ &=\sqrt{4s^2+s^2}\\ &=\sqrt{s^2}\\ &=s\sqrt{5}\\ s&=\frac{1}{\sqrt{5}} \end{align*}

    Karena s=\frac{1}{\sqrt{5}}, maka

        \begin{align*} L. CDE&=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t\\ &=\frac{1}{2}\cdot DE\cdot CD\\ &=\frac{1}{2}\cdot 2s\cdot 2s\\ &=\frac{1}{2}\cdot 4s^2\\ &=\frac{1}{2}\cdot 4(\frac{1}{\sqrt{5}})^2\\ &=\frac{1}{2}\cdot 4(\frac{1}{5})\\ &=\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{5}\\ &=\frac{4}{10}\\ &=\frac{2}{5} \end{align*}

    Jadi Luas Segitiga CDE=\frac{2}{5} cm
    Jawaban B

  5. KPK dari 72 dan 60 yaitu 360
    Sedangkan lapangan berbentuk persegi yang panjang sisinya 180 m, seperti dibawah ini

    Karena Toto dan Titi mulai berjalan dari titik A, maka diperoleh
    Jika Toto berjalan sepanjang 360 m, maka Toto sampai ke titik A kembali selama 10 menit
    Jika Titi berjalan sepanjang 360 m, maka Titi sampai ke titik A kembali selama 12 menit
    Dan KPK dari 10 dan 12 yaitu 60
    Sehingga Toto dan Titi akan bertemu kembali di titik A setelah 60 menit kemudian.
    Diperoleh
    Toto 5 putaran selama 60 menit (\frac{360}{72})
    Titi 6 putaran selama 60 menit (\frac{360}{60})
    Maka, nilai n+m=5+6=11.
    Jawaban B
  6. Karena sisa masing-masing 1418, 2134, dan 2830 jika dibagi x adalah y, maka dapat ditulis seperti berikut ini
    1418=k_1x+y …(1)
    2134=k_2x+y …(2)
    2830=k_3x+y …(3) dengan k_1,k_2, dan k_3 \in \mathbb{Z}
    Persamaan (1) dan (2) dieliminasi,sehingga diperoleh

        \begin{align*} 716&=(k_2-k_1)x\\ 2\cdot 358&=(k_2-k_1)x\\ 4\cdot 179&=(k_2-k_1)x \end{align*}

    Dari proses diatas, kita dapat menyimpulkan bahwa y\neq 0, karena jika y=0 maka option A, B, dan D benar.
    Tetapi hal tersebut tidak mungkin.
    Sehingga dapat disimpulkan bahwa y\neq 0, maka jelaslah jawabannya adalah option C yaitu 344.
    Maka perhatikan
    Jika x=179 , maka
    1418=7\cdot 179+165
    2134=11\cdot 179+165
    2830=15\cdot 179+165
    Jadi, jelaslah bahwa y=165
    Sehingga, x+y=179+165=344
    Jawaban C

  7. Ruang sampelnya yaitu
    6\times 6\times 2=72
    Jadi, n(S)=72
    Banyaknya cara untuk mendapatkan sisi angka pada mata uang dan kedua mata dadu berjumlah 5, yaitu
    4 1 A
    1 4 A
    2 3 A
    3 2 A
    Misalkan P(A) adalah peluang untuk mendapatkan sisi angka pada mata uang dan kedua mata dadu berjumlah 5
    Sehingga,

         \begin{align*} P(A)&=\frac{n(A)}{n(S)}\\ &=\frac{4}{72}\\ &=\frac{1}{18} \end{align*}

    Jadi, peluang untuk mendapatkan sisi angka pada mata uang dan kedua mata dadu berjumlah 5 adalah \frac{1}{18}
    Jawaban B

  8. Ingat bentuk (a+b)^2=a^2+2ab+b^2
    Jika 2^{13}+2^{10}+2^n dijabarkan dengan menerapkan sifat perpangkatan dan perkalian bilangan berpangkat seperti bentuk diatas yaitu

        \begin{align*} 2^{13}+2^{10}+2^n&=2^{10}+2^{13}+2^n\\ &=(2^5)^2+2\cdot 2^5\cdot 2^7+(2^7)^2 \end{align*}

    maka haruslah 2^n=(2^7)^2=2^{14}
    Untuk memperkuat yang diperoleh diatas, perhatikan bahwa

        \begin{align*} 2^{13}+2^{10}+2^{14}&=8.192+1.024+16.384\\ &=25.600 \end{align*}

    Maka, \sqrt{25.600}=160
    Jadi, n yang memenuhi adalah n=14
    Jawaban D

  9. Fungsi f(n)=2^{n-1}+2^n-2^{n+1}
    Akan dicari nilai f(1)+f(2)+…+f(5) yaitu
    f(1)=2^0+2^1-2^2=-1
    f(2)=2^1+2^2-2^3=-2
    f(3)=2^2+2^3-2^4=-4
    f(4)=2^3+2^4-2^5=-8
    f(5)=2^4+2^5-2^6=-16
    Maka

        \begin{align*} f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)&=(-1)+(-2)+(-4)+(-8)+(-16)\\ &=(-31) \end{align*}

    Jawaban A

  10. Misalkan x=\sqrt{3^{2013}}
    Sehingga nilai \frac{\sqrt{3^{2015}}}{\sqrt{3^{2015}}-\sqrt{3^{2013}}} yaitu

        \begin{align*} \frac{\sqrt{3^{2015}}}{\sqrt{3^{2015}}-\sqrt{3^{2013}}}&=\frac{\sqrt{3^2\cdot 3^{2013}}}{\sqrt{3^2\cdot 3^{2013}}-\sqrt{3^{2013}}}\\ &=\frac{\sqrt{3^2}\cdot \sqrt{3^{2013}}}{\sqrt{3^2}\cdot \sqrt{3^{2013}}-\sqrt{3^{2013}}}\\ &=\frac{3x}{3x-x}\\ &=\frac{3x}{2x}\\ &=\frac{3}{2} \end{align*}

    Jawaban C

  11. Diketahui jari-jari taman (r) adalah 50 m dan \pi=3,14
    Sehingga, keliling taman (K) tersebut yaitu

        \begin{align*} K&=2\pi r\\ &=2\times 3,14\times 50\\ &=314 \end{align*}

    Karena jarak antara bangku satu dengan bangku yang berdekatan berjarak sama, maka jarak antara bangku satu dengan bangku yang berjarak sama yaitu
    314:12=26,167
    Diperoleh
    Jarak Bakri dari bangku B_{1} yaitu 26,167\times 6=157,002 (searah jarum jam di depan bangku B_{7})
    Jarak Bima dari bangku B_{1} yaitu 26,167\times 5=130,835 (searah jarum jam di depan bangku B_{6})
    Jarak Budi dari bangku B_{1} yaitu 26,167\times 9=235,503 (berlawanan arah jarum jam di depan bangku B_{4})
    Jadi,
    157,002+130,835+235,503=523,34
    Sehingga jarak total yang telah ditempuh tiga orang ini mendekati  523 meter.
    Jawaban B

  12. Perhatikan gambar dibawah ini
    Dik:
    AB+CD=BC
    AD=EC=12
    Dit:
    AB\times CD=\cdot?
    Penyelesaian:

        \begin{align*} BE&=AB-AE\\ &=AB-CD \end{align*}

    Berdasarkan teorema phytagoras, maka

        \begin{align*} BC^2&=CE^2+BE^2\\ (AB+CD)^2&=CE^2+(AB-CD)^2\\ AB^2+2\cdot AB\cdot CD+CD^2&=CE^2+AB^2-2\cdot AB\cdot CD+CD^2\\ 4\cdot AB\cdot CD&=CE^2\\ 4\cdot AB\cdot CD&=12^2\\ AB\cdot CD&=\frac{144}{4}\\ AB\times CD&=36 \end{align*}

    Jadi, AB\times CD=36
    Jawaban D

  13. Diketahui
    Umur kakak dan adik pada tanggal 1 Januari 2015 sama dengan jumlah angka-angka tahun kelahiranya, sehingga yang mungkin adalah
    Umur Kakak 20 tahun pada tahun 2015 yaitu 1+9+9+3=22, dan
    Umur Anton 4 tahun pada 2011 yaitu 2+0+1+1=4
    Karena di soal menanyakan jumlah umur Anton dan kakaknya pada tahun 2015 yang mungkin, maka jumlah umur Anton dan kakaknya yang mungkin adalah 22+4=26 tahun.
    Jawaban C
  14. Keluarga Adang harus menitipkan bayinya pada pukul 16.00 sampai pukul 09.00 hari berikutnya, berikut rinciannya
    3\times 40.000,00=120.000,00 (pukul 16.00 – 19.00, tiga jam pertama)
    11\times 30.000,00=330.000,00 (pukul19.00 – 06.00, malam hari)
    30.000,00+\frac{20}{100}\times 30.000,00=36.000,00 (pukul 06.00 – 07.00, 20% dari upah sebelumnya)
    36.000,00+\frac{20}{100}\times 36.000,00=43.200,00 (pukul 07.00 – 08.00, 20% dari upah sebelumnya)
    43.200,00+\frac{20}{100}\times 43.200,00=51.840,00 (pukul 08.00 – 09.00, 20% dari upah sebelumnya)
    Diperoleh
    120.000,00+330.000,00+36.000,00+43.200,00+51.840,00=581.040,00
    Sehingga, keluarga Adang harus membayar biaya penitipan bayi tersebut sebesar Rp. 581.040,00.
    Jawaban B
  15. Dik:
    Volume kardus =64.000
    Misalkan sisi kardus adalah s, maka

        \begin{align*} V&=s^3\\ 64.000&=s^3\\ s&=\sqrt[3]{64.000}\\ &=40 \end{align}

    Perbandingan dua siku-siku adalah 1:2
    Kedua segitiga memiliki luas yang sama
    Dit:
    Panjang sisi yang sama pada segitiga sama kaki adalah \cdot cm
    Penyelesaian:
    Perhatikan gambar dibawah ini

    Dari yang diketahui diatas, maka diperoleh AB=PQ=s=40 dan BC=PS=SQ=20
    Sehingga
    Luas segtiga ABC= Luas segitiga PQR

        \begin{align*} \frac{1}{2}\times AB\times BC&=\frac{1}{2}\times PQ\times RS\\ 40\times 20&=40\times RS\\ RS&=20 \end{align*}

    Dengan teorema phytagoras, diperoleh

        \begin{align*} PR^2&=PS^2+RS^2\\ PR&=\sqrt{20^2+20^}\\ &=\sqrt{800}\\ &=20\sqrt{2} \end{align*}

    Maka panjang sisi yang sama pada segitiga sama kaki adalah 20\sqrt{2}
    Jawaban D

Mudah-mudahan bermanfaat

Kesalahan dan kekurangannya mohon dimaafkan

See you again math lovers 🙂

1 thought on “Pembahasan SOAL OSN SMP TAHUN 2015 Bagian A

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *