GEOMETRI BANGSA MESIR

Ini merupakan tugas mata kuliah Sejarah Matematika saya di semester III bersama salah satu teman terbaik saya (Tugas kelompok yang terdiri dari dua orang). Kami diberikan tugas oleh dosen yang mengampu mata kuliah Sejarah Matematika ini untuk menerjemahkan, memahami, dan memahamkan teman-teman kami ketika kelompok kami presentasi. Dari buku yang berjudul The History Of Mathematics: An Introduction ini, masing-masing kelompok diberikan materi, dan materi yang didapatkan oleh kelompok saya adalah Egyptian Geometry (Geometri Bangsa Mesir). Dan Alhamdulillah presentasi kami berjalan lancar 🙂
Well, disini saya akan share hasil terjemahan dan pemahaman kami (saya dan teman saya) mengenai materi Geometri Bangsa Mesir

Geometri Bangsa Mesir

Memperkirakan Luas Daerah Lingkaran

Secara umum kita ketahui bahwa asal usul geometri berasal dari Mesir kuno, awalnya dimana setiap tahun terjadi perluasan genangan yang berasal dari sungai Nil ke sejumlah lahan yang kemudian menjadi tuntutan untuk dikenai pajak. Memang, nama “Geometri” disusun dari dua kata Yunani yang berarti “bumi” dan “ukuran”, tampaknya menunjukkan bahwa subjeknya muncul dari perlunya pengukuran tanah, menurut Herodotus,seorang sejarawan asal Yunani, yang mengunjungi Sungai Nil pada tahun 460-455 SM.

Mereka juga mengatakan bahwa raja ini (Serostris) membagikan lahan itu kepada seluruh penduduk Mesir, jadi dalam pembagiannya setiap orang diberi lahan yang berbentuk persegi empat dengan ukuran yang sama untuk memberi gambaran penghasilan dari tiap mereka, dengan mmberlakukan pajak setiap tahunnya. Tetapi setiap satu bagian dari lahan yang tergenang air sungai itu kering, dia harus memberitahukan apa yang terjadi. Dia kemudian mengirim pengawas, yang harus mengukur seberapa banyak lahan yang menjadi lebih kecil, agar pemiliknya membayar sisanya, yang sebanding dengan seluruh pajak yang dikenakan. Dari sinilah, geometri berasal.

Apapun anggapan yang akhirnya digunakan sebagai asal dari ilmu geometri, itu sudah cukup mampu digunakan untuk memperkirakan bahwa bagian terkecil dari tanah subur di suatu negara menjadi sanga penting pengukurannya. Pada akhirnya harus diakui bahwa penemuan luar biasa oleh bangsaMesir ini dapat menjadi kajian dalam ilmu matematika.

Yang berperan dalam melakukan penyelidikan/penelitian dilakukan oleh para ahli yang kemudian oleh orang-orang Yunani disebut sebagai rope-stretchers (tali-tandu) ataurope-fasteners (tali-pengencang), karena alat utama mereka terlihat seperti tali (meteran tali) yg diberi tanda dengan interval yg sama. Telah ada sekitar 420 tahun S.M., filsafat Yunani Democritus(460-370 tahun S.M.) dalam percobaannya bahwa diperiodenya saat itu para peneliti Mesir tetap menduduki peringkat tertinggi diantara para geometers lainnya dengan penguasaan keahlian yg hampir sama. Dengan bangga dia mengatakan bahwatidak ada yg bisa mencapainya dalam pembuatan pesawat terbang yang dapat dibuktikan, juga tidak oleh rope-stretchers diantara orang-orang Mesir.

Bagaimana kedudukan geometers Mesir sekitar 4000 tahun yang lalu? Papirus, seorangmatematikawan saat itu hingga saat ini telah banyak memberikan contoh konkret, tanpa motivasi teoritis, aturan resep seperti untuk menentukan luas daerah dan volume dari pesawat yang paling familiar dan angka yang padat. Aturan seperti perhitungan harus diakui sebagai hasil ketat empiris, pertambahan usia pengalaman trial-and-error dan mengamati. Orang Mesir mencari fakta yang berguna berkaitan dengan pengukuran, tanpa harus menunjukkan fakta-fakta tersebut dengan berbagai proses penalaran deduktif. Beberapa rumus-rumus mereka hanya mendekati benar, tapi hasilnya tetap dappat diterima untuk kebutuhan kehidupan sehari-hari.

Pada peringatan persembahan besar, sekitar 100 tahun S.M., di kuil Horus di Edfu, terdapat referensi untuk berbagai bidang empat sisi untuk hadiah ke kuil. Untuk masing-masing, luas daerah diperoleh dari mengambil rata-rata dari dua pasang sisi yang berlawanan, yaitu, dengan menggunakan rumus

\frac{1}{4}(a+c)(b+d)

Di mana a, b, c, dan d berturt-turut adalah panjang sisi. Rumusnya jelas tidak benar. Ini memberikan jawaban yang cukup akurat hanya ketika bidang sekitar persegi panjang. Yang menarik adalah bahwa rumus yang keliru ini sama untuk daerah segiempat, yang muncul 3000 tahun lebih awal di Babilonia kuno.

Masalah geometris dari Papyrus Rhind adalah mereka dinomor 41-60, dan sebagian besar berkaitan dengan jumlah gabah yang disimpan dalam persegi panjang dan lumbung silinder. Mungkin pencapaian terbaik dari orang Mesir dalam geometri dua dimensi adalah metode mereka untuk mencari luas daerah lingkaran, yang muncul dalam masalah 50.

Contoh dari bidang putar dengan diameter 9 khet. Berapa luas daerahnya? Ambil \frac{1}{9} dari diameter, yaitu 1, sisanya adalah 8. Perkalian 8 dengan 8, meghasilkan 64. Oleh karena itu, berisi 64 setat tanah.
Proses penulis untuk menemukan luas daerah lingkaran dapat dinyatakan: Kurangi \frac{1}{9} dari diameerrnya lalukuadratkan sisanya. Dalam simbol-simbol modern, rumusnya yaitu

A=(d-\frac{d}{9})^2=(\frac{8d}{9})^2,

dimana d menunjukkan panjang diameter dari lingkaran. Jika kita bandingkan ini dengan rumus yang sebenarnya untuk luas daerah lingkaran, yaitu \frac{\phi d^2}{4}, maka

\frac{\pi d^2}{4}=(\frac{8d}{9})^2

Sehingga kita peroleh

4(\frac{8}{9})^2=3.1605\cdots

Bagi orang Mesir nilai dari perbandingan keliling lingkaran untuk diameternya. Ini adalah pendekatan sekitar 3\frac{1}{7}, yang banyak siswa belum cukup baik untuk tujuan praktis.

Pada periode Babilonia kuno (sekitar tahun 1800-1600 S.M.), keliling lingkaran ditemukan dengan mengambil tiga kali diameter. Ini sama denganπd, kita melihat bahwa perhitungan mereka setara dengan menggunakan 3 untuk nilai dari \pi. Orang Ibrani menggunakan nilai yang sama dalam Perjanjian lama, misalnya, di Raja I 07:23, dimana dimensi dari bak mandi di kuil Salomo dijelaskan. Ayat ini ditulis sekitar 650 SM, dan mungkin telah diambil dari catatan kuil sejak tahun 900 SM. Yang berbunyi, “Dan dia membuat lautan cair, 10 hasta dari pinggir lainnya: ini semua yang ada disekitarnya. . . dan garis 30 hasta itu mengelilingi sekelilingnya. “Sebuah paku tablet ditemukan di Susa oleh seorang arkeologi Perancis yang melakukan ekspedisi pada tahun 1936 (interpretasi yang diterbitkan pada tahun 1950) tampaknya menunjukkan bahwa penulis Babilonia mengadopsi 3; 7,30 atau 3\frac{1}{8} sebagai nilai \pi. Hal ini setidaknya hasilnya hampir sama dengan penafsiran yang telah dilakukan oleh orang Mesir.

Kami tidak tahu pasti bahwa bagaimana rumus A=( \frac{8d}{9} )^2 untuk luas daerah lingkaran itu digunakan, tetapi petunjuknya mungkin bisa dilihat di masalah nomor 48 Papyrus Rhind. Dalam masalah ini, hal yang diusulkan oleh penulis adalah dengan menggantinya dengan angka, meskipun digambar cukup kasar, sudah banyak menunjukkan persegi dengan empat segitiga di sudutnya. Di tengah angka tersebut adalah tanda demotik untuk 9. Dengan demikian tampak bahwa penulis membentuk segi delapan dari sebuah persegi dengan panjang 9 satuan.

Membagi tiga sisi dan memotong empat sudut segitiga sama kaki (masing-masing segitiga memiliki luas \frac{9}{2} satuan). Ahli kitab mungkin telah menyimpulkan bahwa segi delapan itu kira-kira sama dengan daerah lingkaran yang ada didalam persegi, karena beberapa bagian dari lingkaran berada di luar segi delapan dan beberapa bagian berada di dalam, dan ini tampaknya kurang lebih sama.

Sekarang luas daerah segi delapan sama dengan luas daerah persegi dikurangi bidangempat segitiga sama kaki membentuk empat potongan sudut, yaitu,

A=9^2-4(\frac{9}{2})=63.

Ini nilai yang hampir diperoleh dengan mengambil d=9 dalam bentuk (\frac{8d}{9})^2. Jadi penjelasan yang mungkin dari rumus luas daerah A=(\frac{8d}{9})^2 bahwa hal itu muncul setelah menghitung/ mempertimbangkan segi delapan sebagai pendekatan pertama ke lingkaran yang di dalam persegi.
Masalah 52 dari Papyrus Rhind diberikan untuk menemukan luas daerah trapesium (digambarkan dengan segitiga yang terpotong) dengan sisi miring nampak sama yaitu panjang dari sisi sejajar adalah 6 dan 4, dengan panjang dan sisi miringnya adalah 20.

Perhitungan dilakukan dengan menggunakan rumus

A=\frac{1}{2} (b+b')h.

Apakah penulis papirus berpikir bahwa luas daerah trapesium adalah setengah dari hasil penjumlahan panjang sisi yang sejajar dikalikan dengan tinggi kemiringannya, atau satu sisi miring yang dimaksudkan untuk menjadi tegak lurus dengan sisi sejajar? Dalam kasus selanjutnya, itu menjadi benar. Hal ini tidak sepenuhnya sama dengan diagram, yang mana sedikit lebih kasar dari sketsanya. Gambar yang kurang baik membuat semua sisi nampak sama dan seakan tegak lurus dengan sisi sejajar.

Volume dari Piramida yang Terpotong

Terdapat 25 masalah dalam Papyrus Moskow, tapi salah satu dari mereka berisi karya geometri kuno. Masalah 14 menunjukkan bahwa orang Mesir sekitar tahun 1850 SM akrab dengan rumus yang benar untuk volume piramida persegi yang terpotong (atau frustum). Dalam notasi kami, ini adalah

V=\frac{h}{3}(a^2+ab+b^2 ),

Dimana h adalah ketinggian a dan b adalah panjang dari sisi dasar persegi dan atas persegi, masing-masing.

angka yang terkait dengan masalah 14 tampak seperti trapesium sama kaki,

tapi hasil perhitungannya menunjukkan bahwa frustum dari piramida persegi itu yang dimaksudkan. Arti teks dalam hubungan ini dapat diberikan.

Contoh dalam perhitungan piramida yang terpotong. Jika Anda diberitahu: piramida terpotong menjadi 6 untuk ketinggian vertikalnya adalah 4 pada alas dengan 2 di atas. Anda mengkuadratkan 4, hasilnya 16. Anda mendua kali lipatkan 4; mengakibatkan 8. Anda mengkuadratkan 2, menghasilkan 4. Anda menambahkan 16 dan 8 dan 4, hasilnya 28. Anda mengambil \frac{1}{3} dari 6, mengakibatkan 2. Anda mengambil 28 dua kali, hasilnya 56. Lihat, itu adalah 56. Anda akan menemukan jawaban yang benar.

Meskipun telah diselesaikan dengan banyak cara tertentu, tidak dengan teorema umum, hasilnya tetap bisa diterima, beberapa sejarawan matematika telah memuji prestasi ini sebagai yang terbesar dari piramida Mesir.

Sudah dikenal bahwa orang Mesir yang telah memperkenalkan rumus volume limas segiempat, dan itu merupakan rumus yang benar

V=\frac{h}{3}a^2

Di analogikan dengan rumus A=\frac{1}{2} bh untuk luas daerah segitiga. Mesir mungkin menduga bahwa volume piramida adalah hasil kali konstan dari ha^2. Bahkan kita mungkin mengira bahwa mereka menduga kontanta 1=3. Tetapi, rumus

V=\frac{h}{3}(a^2+ab+b^2 )

bukan tebakan yang benar, itu bisa diperoleh hanya dengan melakukan analisis geometrik atau dengan aljabar dari V=(\frac{h}{3})^2. Tidak seperti itu, namun, suatu tugas yang mudah bagi mereka untuk merekonstruksi suatu metode dimana mereka sudah bisa menyimpulkan rumus untuk piramida yang terpotong dengan bahan/material yang ada disekitar mereka.

Spekulasi tentang Piramida Besar

Setiap survei matematika yang dilakukan di Mesir pasti menyertakan referensi singkat tentang Piramida Besar di Gizeh, didirikan sekitar 2600 SM oleh Khufu, yang disebut Cheops oleh bangsa Yunani. Piramida ini membuktikan fakta monumen dari apresiasi bentuk geometri dan perkembangan yang relatif tinggi dari keahlian teknik konstruksi,belum lagi organisasi sosial dan pemerintah yang sangat luar biasa. Menurut Herodotus, 400.000 pekerja bekerjasetiap tahun di Piramida Besar selama 30 tahun – dipisahkan dalam empat kelompok yang masing-masing terdiri dari 100.000 pekerja, masing-masing kelompok dipekerjakan selama 3 bulan (perhitungan menunjukkan bahwa tidak lebih dari 36.000 pria bekerja pada piramida dalam waktu yang bersamaan tanpa mengganggu pergerakan satu sama lain. Setiap orang punya tempat bekerjanya masing-masing dan tahu tujuan pekerjaannya.

Di ambil dari Mathematical Leather Scroll,

yang berisi hubungan sederhana antara pecahan seperti \frac{1}{9}+\frac{1}{8}=\frac{1}{6}.

Sepuluh tahun dihabiskan membangun jalan untuk tambang batu kapur sejauh beberapa mil, dan diatas jalan ini ditarik 2.300.000 blok-blok batu (batu-batu itu kemudian ditarik ke atas melalui jalan landai tersebut yang dibangun khusus di samping pyramida) yang rata-rata beratnya 2\frac{1}{2} ton dan berukuran 3 kaki di setiap arah. Blok-blok ini disusun bersama-sama sangat sempurna bahkan pisau-pisautidak dapat dimasukkan dalam sambungan (di antara blok batu yang satu dengan blok yang lain atau sela-sela batu yang disusun).

Apa yang membuat orang terkesan selama bertahun-tahun adalah bukan karena kualitas estetika/keindahan Piramida Besar tersebut melainkan ukurannya; Piramida ini merupakan bangunan yang terbesar di zaman kuno dan salah satu yang terbesar yang pernah dibangun. Ketika masih utuh, piramida tersebut memiliki tinggi 481,2 kaki (termasuk 31 kaki bagian atas yang sekarang hilang), empat sisi miring dengan sudut sekitar 51^o51' terhadap tanah, dan alasnya menempati sekitar 13 acre (satuan luas) – luas daerah yang sama dengan gabungan dari KatedralFlorence & Milan, St. Peter di Roma, dan Katedral St. Paul & WestminsterAbbey di London. Bahkan lebih menakjubkan lagi adalah akurasi/ketelitian yang disertakan disana.

Alasnya hampir persegi sempurna, tidak satupun dari empat sisinya yang berbeda lebih dari 4\frac{1}{2} inci dari rata-rata panjang 755,78 kaki. Dengan menggunakan salah satu benda langit (ada juga yang mengidentikkan piramida, berhubungan langsung dengan rasi gugus bintang Orion), Pembangun/pekerja Cheops mampu mengarahkan sisi-sisi piramida hampir sama/sejajar dengan empat arah mata angin pada kompas, kesalahannya hanya sepersekian 1^o.

Piramida Besar sampai sekarang ini masih memunculkan pemikiran-pemikiran para petualang untuk spekulasi-spekulasi yang tidak diakui. Mistik piramida ini (atau mereka yang kadang-kadang dijuluki, pyramidiots)dianggap berasal dari pembangunnya zaman dahulu untuk segala macam tujuan metafisik danpengetahuan esoterik. Diantara hal-hal luar biasa diklaim bahwa piramida itudibangun sehingga setengah dari keliling alas dibagi dengan tinggi piramida harus persis sama dengan \pi. Sementara perbedaan antara dua nilai

\pi=3,1415926\cdots dan \frac{2(775,78)}{481,2}=3,14123\cdots

hanya 0,00036; kemiripan dua nilai tersebut merupakan kebetulan dan tidak memiliki dasar di setiap hukum matematika.

Para Imam Mesir, merujuk pada sebuah literatur baru, Herodotus mengemukakan tentang ukuran/dimensi Piramida Besar, jika dipilih luas daerah salah satu permukaan piramida berbentuk segitiga akan sama dengan luas daerah persegi yang sisi sama dengan tinggi piramida tersebut. Di tulis 2b untuk panjang sisi alas piramida, a untuk tinggi dari permukaan yang berbentuk segitiga dan h untuk tinggi piramida, kita menemukan bahwa relasi Herodotus dinyatakan oleh persamaan

h^2=\frac{1}{2}(2b.a)=ab


Berdasarkan teorema Pythagoras yang menyatakan jika a adalah sisi miring dari segitiga siku-siku dengan kaki-kaki b dan h, maka h^2+b^2=a^2 atau h^2=a^2-b^2. Dengan menyamakan dua pernyataan dari h^2, kita peroleh

a^2-b^2=ab

ketika kedua ruas dibagi dengan a^2, persamaan yang terakhir menjadi

1-(\frac{b}{a})^2=\frac{b}{a} atau ekuivalen dengan (\frac{b}{a})^2+(\frac{b}{a})=1

Sekarang nilai akar positif dari persamaan kuadrat x^2+x=1 adalah x=\frac{1}{2} (\sqrt{5}-1).
Maka kita peroleh perbandingan

\frac{b}{a}=\frac{1}{2} (\sqrt{5}-1)=0,6180339\cdots

Kebalikan dari “rasio emas”, yaitu nilai yang telah berkali-kali terbukti secara signifikan dalam matematika dan aplikasinya.

Bagaimana kesuksesan pembangun piramida tersebut mencapai “rasio emas” (jika itu memang tujuan mereka)? Memeriksa dengan sebenarnya pengukuran yang dilakukan pada Piramida Besar, kita lihat bahwa

a=\sqrt{h^2+b^2 }=\sqrt{(481,2)^2+(377,89)^2}=611,85

yang mengarah ke nilai

\frac{b}{a}=0,61762\cdots

Teori Mesir yang dimaksudkan untuk menggunakan rasio emas sebagai landasan teoriuntuk membangun Piramida Besar tampaknya telah ditetapkan pertamakali oleh John Taylor,yang pada tahun 1859 mempublikasikan The Great Pyramid, Why Was It Built and Who Built It? seorang matematikawan amatir, Taylor menghabiskan 30 tahun mengumpulkan dan membandingkan pengukuran yang dilaporkan berturut-turut oleh pengunjung Piramida. Meskipun ia membuat sejumlah model skala Piramida, ia tidak pernah melihat pada dirinya. Karena hanya bagian dalam Sejarah Herodotus (Herodotus’s History) tentang ukuran yang berbunyi, “Alasnya adalah persegi, masing-masing sisi panjangnya 800 kaki dan tingginya sama,” sebuah keyakinan dan kepercayaan yang diperlukan untuk membenarkan klaim Taylor. Selain itu, dimensi/ukuran Herodotus itu sendiri tercatat jauh dari sasaran.

Teori lain yang sering diambil sebagai ajaran adalah bahwa luas permukaan total piramida dapat dinyatakan dengan cara yang mengarah ke rasio emas; yaitu, luas daerah alas adalah jumlah dari luas permukaan berbentuk segitiga dimana jumlah ini adalah jumlah dari luas daerah permukaan dan alas. Karena jumlah dari luas daerah empat permukaan segitiga adalah 4\cdot \frac{1}{2} (2ba) dan luas daerah alasnya adalah (2b)2, mengklaim pernyataan sebagai berikut

\frac{(4b)^2}{4ab}=\frac{4ab}{4ab+4b^2}

atau setara dengan bentuk,

\frac{b}{a}=\frac{a}{a+b}

Menggunakan perhitungan nilai a yang sebelumnya, diperoleh

\frac{a}{(a+b)}=\frac{611,85}{989,74}=0,61819\cdots

dimana hasil bagi \frac{b}{a} dan \frac{a}{a+b} hampir sama. Apakah ini masalah kecelakaan atau desain terbuka untuk bespekulasi.

Ada beberapa teori-teori liar/tidak resmi/tidak diakui. Yang dipertahankan oleh beberapa orang, misalnya, bahwa di Mesir didirikan piramida sebagai tanggul untuk menjaga pasir di gurun dari gerusan dan mencakup daerah yang dibudidayakan sepanjang Sungai Nil. Kepercayaan yang populer selama Abad Pertengahan adalah bahwa mereka para tawanan Ibrani dipaksa untuk membangun piramida sebagai lumbung untuk menyimpan jagung selama beberapa tahun. Legenda ini telah terpelihara dalam mosaik, dilakukan sekitar 1250 M, di gereja Saint Mark di Venesia. Bagian cerita bergambar tentang kisah Yusuf menunjukkan saudaranya yang dikirim untuk mengambil butir gandum dari piramida. Spekulasi yang dianggap lebih ilmiah mulai muncul pada tahun 1864, ketika salah satu professor astronomi yang sangat dihormati (Charles Piazzi Smyth, seorang astromoni dari Skotlandia) menggunakan satuan pengukuran sendiri untuk Piramida Besar, dia menyebutnya “pyramid inch”, yang sama dengan 1,001 kali dari inci yang kita kenal saat ini. Menggunakan “pyramid inch” ini untuk mengukur tonjolan dan retakan sepanjang dinding bagian dalam dan ruang, dia menyimpulkan bahwa Piramida Besar dirancang oleh Tuhan sebagai instrumen ramalan, yang disebut Bible in stone (Alkitab dalam batu). (The British Egyptologist Flinders Petrie menulis bahwa ia pernah memasuki salah satu piramida diam-diam kemudian mengukur tonjolan batu untuk membuat pengukuran yang sesuai dengan teori-teorinya). Jika seseorang tahu bagaimana membaca pesan tersebut, akan ada segala macam informasi signifikan yang bisa ditemukan tentang sejarah dan masa depan manusia: Banjir Besar, kelahiran Kristus, awal dan akhir Perang Dunia I, dan sebagainya. Ketika Smyth menyatakan tanggal awal Perang Dunia I pada 1913, orang kepercayaannya dengan penuh suka cita menunjukkan bahwa ia telah melakukan kesalahan “hanya dengan satu tahun.” Smyth dan para pengikutnya bersikap aneh, teori yang berlebihan tentang “rahasia” dikunci dalam pengukuran Piramida Besar. Sekalipun demikian nyaris saja mereka meramalkan tanggal Perang yang Besar, ini banyak spekulasi yang harusnya dihentikan sebagai bahan dan omong kosong.

Meskipun kita bisa yakin bahwa orang yang membangun piramida sudah memiliki pengetahuan yang cukup tentang geometri, namun matematika pada masa ini sedikit yang sampai kepada kita. Kedua matematika papirus yang utama, meskipun berbeda masa, dapat dikatakan dapat merepresentasikan keadaan yang pokok sekitar 2000-1750 SM. Meninjau kembali segala sesuatunya, kita terpaksa menyimpulkan bahwa geometri bangsa Mesir tidak pernah maju di luar tahap intuitif, di mana pengukuran benda nyata adalah perhatian utama.Geometri merupakan periode yang tidak memiliki struktur deduktif – tidak ada hasil teoritis, maupun aturan umum dalam prosedurnya.Yang ada hanya perhitungan, dan ini kadang-kadang berupa perkiraan, untuk masalah yang memiliki bantalan praktis dalam konstruksi dan survei.

Bagi pembaca yang ingin tahu english version dari tulisan diatas, klik Egyptian Geometry

Dan bagi pembaca yang ingin tahu buku aslinya, berikut ini sumbernya 🙂

Sumber: Burton, David M..2011. The History Of Mathematics: An Introduction, Seventh Edition. New York: The McGraw-Hill Companies

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *