Garis Lurus

Bismillah

Pada post kali ini, author membahas mengenai materi garis lurus.

Panjang ruas garis lurus

Dengan teorema Phytagoras, panjang ruas garis dari titik P(x_1,y_1) ke titik Q(x_2,y_2) adalah

PQ=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}

Bentuk Umum

  • y=mx+c, dengan
    m= gradien
    c= konstanta
  • ax+by+c=0, dengan a,b tidak semuanya 0, a, b, c \in \mathbb{R}.
    m=-\frac{a}{b}
  • ax+by=c, dengan a,b tidak semuanya 0, a, b, c \in \mathbb{R}.
    m=-\frac{a}{b}

Beberapa hal khusus yaitu

  • Persamaan garis yang sejajar dengan sumbu x adalah y=p
  • Persamaan garis yang sejajar dengan sumbu y adalah x=q
  • Persamaan garis yang tidak sejajar dengan sumbu y adalah y=mx+c (fungsi linear)
  • Persamaan garis yang melalui titik asal (0,0) adalah ax+by=0
  • Persamaan garis yang melalui titik (p,0) dan (0,q) dengan p,q\neq 0 adalah \frac{x}{p}+\frac{y}{q}=1

Persamaan Garis Lurus

Menentukan Persamaan Garis Lurus

  • Persamaan garis lurus melalui titik A(x_1,y_1) dan mempunyai gradien m adalah
    y-y_1=m(x-x_1)
  • Persamaan garis lurus melalui titik A(x_1,y_1) dan B(x_2,y_2) adalah
    \frac{y-y_1}{y_2-y_1}=\frac{x-x_1}{x_2-x_1}
  • Persamaan garis lurus melalui titik A(x_1,y_1) dan sejajar dengan garis ax+by+c=0 adalah ax+by=ax_1+by_1
  • Persamaan garis lurus melalui titik A(x_1,y_1) dan tegak lurus dengan garis ax+by+c=0 adalah by-ay=bx_1-ay_1

Grafik Persamaan Garis Lurus

GAMBAR 1. Contoh Grafik Garis Lurus

  • y=mx\rightarrow persamaan garis lurus melalui titik (0,0) dengan gradien m.
  • y=mx+c\rightarrow persamaan garis lurus melalui titik (0,c) dengan gradien m.

Kaitan antara dua garis lurus

Jika terdapat garis g=ax+by+c=0 dan h=px+qy+r=0, dikatakan

  • Sejajar (ditulis g // h), jika \frac{a}{p}=\frac{b}{q}\neq\frac{c}{r}
  • Berimpit (ditulis g\equiv h), jika \frac{a}{p}=\frac{b}{q}=\frac{c}{r}
  • Berpotongan, jika \frac{a}{p}\neq\frac{b}{q}
  • Berpotongan tegak lurus (ditulis g\bot h), jika ap+bq=0, dengan b,q\neq 0

Gradien

  • Gradien garis lurus melalui titik A(x_1,y_1) dan B(x_2,y_2) adalah m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}
  • Gradien garis yang sejajar dengan sumbu x adalah 0 (m=0)
  • Garis yang sejajar dengan sumbu y tidak memiliki gradien

Gradien suatu garis

Pada persamaan garis g: y=mx+c, besaran m dinamakan gradien garis g. Arti geometri dari gradien suatu garis adalah nilai tangen sudut antara garis tersebut dengan sumbu x positif. Perhatikan Gambar 2 dibawah ini

GAMBAR 2. Gradien Garis Lurus

Gradien dua garis yang saling tegak lurus

Garis g:y=mx+c dan h: y=px+q saling tegak lurus \iff mp=-1. Jadi dua garis saling  tegak lurus  jika dan hanya jika perkalian gradiennya sama dengan -1.

GAMBAR 3. Dua Garis Saling Lurus

Bukti:

Andaikan garis g dan h melaui titik asal (0,0). Pada Gambar 3, pilihlah titik P(x_1,y_1) pada garis g, dan titik Q(x_2,y_2) pada garis h, dengan x_1,x_2\neq 0.

Dengan rumus jarak dua titik di bidang diperoleh

OP^2=x_1^2+y_1^2, OQ^2=x_2^2+y_2^2 dan  PQ^2=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2

Kemudian, dengan rumus Phytagoras dan kebalikannya, serta penyederhanaan bentuk diperoleh

    \begin{align*} g\bot h&\iff OP^2+OQ^2=PQ^2\\ &\iff (x_1^2+y_1^2)+(x_2^2+y_2^2)=(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2\\ &\iff x_1^2+y_1^2+x_2^2+y_2^2=(x_1^2-2x_1x_2+x_2^2)+(y_1^2-2y_1y_2+y_2^2)\\ &\iff 2(x_1x_2+y_1y_2)=0\\ &\iff\frac{y_1}{x_1}\cdot\frac{y_2}{x_2}=1\\ &\iff m_g\cdot m_h=-1 \end{align*}

Karena m_g=\frac{y_1}{x_1} dan m_h=\frac{y_2}{x_2}

Dengan demikian terbukti 🙂

Jarak titik ke garis

Jarak dari titik P(x_0,y_0) ke garis  g: ax+by+c=0 adalah

 d(P,g)=\frac{\left |ax_0+by_0+c\right |}{\sqrt{a^2+b^2}}

Pada Gambar 4, dapat dilihat jarak titik  P ke garis  g adalah ruas garis  PQ

GAMBAR 4. Jarak Titik ke Garis

Itulah kurang lebih materi mengenai garis lurus

Mudah-mudahan bermanfaat

Have a nice read, readers 🙂

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *