Soal dan Pembahasan OSN (Olimpiade Sains Nasional) SMP Tahun 2015

BAGIAN A: PILIHAN GANDA

    1. Operasi * untuk himpunan bilangan S = {0,1,2,3,4,5,6} didefinisikan sesuai tabel di bawah ini.

      Jika untuk setiap bilangan bulat n yang lebih besar dari pada 1 didefinisikan x^n=x^{n-1} * x , maka 5^{2015}=…
      A. 0
      B. 1
      C. 2
      D. 3
      Penyelesaian:
      Dari tabel, dapat diketahui bahwa operasi * adalah perkalian, yaitu perkalian modulo 7. Sehingga diperoleh
      5^1=5 (sisa 5)
      5^2=25 (sisa 4 jika dibagi 7)
       5^3=125 (sisa 6 jika dibagi 7)
       5^4=625 (sisa 2 jika dibagi 7)
       5^5=3.125 (sisa 3 jika dibagi 7)
      5^6=15.625 (sisa 1 jika dibagi 7)
      5^7=78.125 (sisa 5 jika dibagi 7)
      .
      .
      .
      Jadi, mulai dari pangkat 7 sisanya berulang (sisa dari pangkat 1 sampai 6) . Sehingga, untuk mengetahui sisa dari 5^{2015}, cukup kita mengetahui sisa dari 2015 setelah dibagi 6.
      Diperoleh
      2015=6\times 335+5
      Sehingga sisa dari 5^5 sama dengan sisa 5^{2015}.
      Jadi, sisa 5^{2015} yaitu 3.
      Jawaban D
    2. Jika A={1,2,3,…,50}
      S={(a,b,c)a\in A, b\in A, c\in A, b<a, danb<c}, dan
      T={(a,b,c)a\in A, b\in A, c\in A, dan a=c},
      Maka anggota dari S\cap T ada sebanyak …
      A. 50
      B. 1225
      C. 1275
      D. 2500
      Penyelesaian:
      Diketahui:
      Syarat himpunan S yaitu b<a dan b<c
      Syarat himpunan T yaitu a=c
      Ditanyakan:
      Banyaknya anggota S\cap T adalah …
      Penyelesaian:
      Banyaknya anggota dari S\cap T yaitu semua pasangan terurut dengan syarat b<a, b<c, dan a=c.
      Karena banyaknya himpunan dari A cukup banyak yaitu n(A)=50, maka
      Perhatikan bahwa
      Untuk n(A)=2 yaitu misalkan diambil A=(1, 2)
      Diperoleh pasangan terurut sebayak 1 yaitu (2,1,2)
      Untuk A={1,2,3}
      Diperoleh pasangan terurut sebayak 3 yaitu (2,1,2), (3,1,3), (3,2,3)
      Untuk A={1,2,3,4}
      Diperoleh pasangan terurut sebayak 6 yaitu (2,1,2), (3,1,3), (3,2,3), (4,1,4), (4,2,4), (4,3,4)
      Untuk A={1,2,3,4,5}
      Diperoleh pasangan terurut sebayak 10 yaitu (2,1,2), (3,1,3), (3,2,3), (4,1,4), (4,2,4), (4,3,4), (5,1,5), (5,2,5), (5,3,5), (5,4,5)
      .
      .
      Dari atas, diperoleh barisan {1, 3, 6, 10,\cdots }
      Jadi, dari barisan tersebut diperoleh rumus suku ke-n yaitu
      U_n=\frac{1}{2}n(n-1), n\geq 2, n\in \mathbb{N}
      Banyaknya anggota dari S\cap T sama saja dengan banyaknya solusi bulat dari

          \begin{align*} U_{50}&=\frac{1}{2}50(50-1)\\ &=25\cdot 49\\ &=1225 \end{align*}

      Banyaknya anggota S\cap T adalah 1225
      Jawaban B

    3. Nilai ujian lima orang siswa, yakni: Adi, Budi, Cici, Didi, dan Eki adalah bilangan bulat dan mempunyai rata-rata yang sama dengan mediannya. Diketahui nilai tertinggi adalah 10 dan terendah adalah 4. Jika yang memperolehnilai tertinggi adalah Adi dan terendah adalah Eki, maka susunan nilai yang mungkin ada sebanyak…
      A. 3
      B. 4
      C. 13
      D. 16
      Penyelesaian:
      Rata-rata diperoleh dari jumlah nilai siswa dibagi banyaknya siswa
      Median adalah nilai tengah siswa
      Diketahui:
      Rata-rata = median
      Nilai tertinggi adalah Adi
      Nilai terendah adalah Eki
      Jadi cukup kita mengetahui banyaknya susunan nilai yang mungkin dari Budi, Cici, dan Didi, sehingga dapat diperoleh hasil yang benar yang memenuhi syarat rata-rata = median.
      Diperoleh
      10 9 7 5 4 (Nilai 9, 7, 5 yang mungkin dari Budi, Cici, dan Didi, sehingga terdapat 6 cara)
      10 8 7 6 4 (Nilai 8, 7, 6 yang mungkin dari Budi, Cici, dan Didi, sehingga terdapat 6 cara)
      10 6 6 4 4 (Nilai 6, 6, 4 yang mungkin dari Budi, Cici, dan Didi, sehingga terdapat 3 cara)
      10 7 7 7 4 (Ketiganya nilai 7, sehingga terdapat 1 cara)
      (karna tidak ada syarat bahwa nilai dari masing-masing siswa harus berbeda)
      Dari proses diatas, banyaknya susunan nilai yang mungkin yaitu 6+6+3+1=16 susunan.
      Jawaban D
    4. Diketahui lingkaran dengan pusat O dan mempunyai diameter AB. Segitiga CDE siku-siku di D, DE pada diameter AB sehingga DO=OE dan CD=DE untuk suatu titik C pada lingkaran.
      Jika jari-jari lingkaran adalah 1 cm, maka luas segitiga CDE =\cdots cm^2
      A. \frac{3}{5}
      B. \frac{2}{5}
      C. \frac{2}{3}
      D. \frac{1}{2}
      Penyelesaian:
      Perhatikan gambar dibawah ini

      Diketahui:
      AB adalah diameter lingkaran
      CD=DE
      Segitiga CDE siku-siku di D
      Jari-jari lingkaran adalah 1 cm
      Ditanyakan:
      Luas segitiga CDE=\cdots?
      Penyelesaian:
      Dari gambar diatas, ditarik garis bagi dari C ke O, sehingga panjang DO=OE
      Misalkan DO=OE=s, sehingga CD=2s
      Dengan menggunakan teorema phytagoras diperoleh

          \begin{align*} CE&=\sqrt{CD^2+DE^2}\\ &=\sqrt{(2s)^2+(2s)^2}\\ &=\sqrt{4s^2+4s^2}\\ &=\sqrt{8s^2}\\ &=2s\sqrt{2} \end{align*}

      Karena CO juga merupakan jari-jari, maka CO=1 cm
      Perhatikan Segitiga CDO

          \begin{align*} CO&=\sqrt{CD^2+DO^2}\\ 1&=\sqrt{(2s)^2+s^2}\\ &=\sqrt{4s^2+s^2}\\ &=\sqrt{s^2}\\ &=s\sqrt{5}\\ s&=\frac{1}{\sqrt{5}} \end{align*}

      Karena s=\frac{1}{\sqrt{5}}, maka

          \begin{align*} L. CDE&=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t\\ &=\frac{1}{2}\cdot DE\cdot CD\\ &=\frac{1}{2}\cdot 2s\cdot 2s\\ &=\frac{1}{2}\cdot 4s^2\\ &=\frac{1}{2}\cdot 4(\frac{1}{\sqrt{5}})^2\\ &=\frac{1}{2}\cdot 4(\frac{1}{5})\\ &=\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{5}\\ &=\frac{4}{10}\\ &=\frac{2}{5} \end{align*}

      Jadi Luas Segitiga CDE=\frac{2}{5} cm
      Jawaban B

    5. Toto dan Titi berjalan mulai dari titik A bersamaan mengelilingi lapangan berbentuk persegi yang panjang sisinya 180 m. diasumsikan Toto dan Titi berjalan dengan kecepatan berturut-turut 72 m/menit dan 60 m/menit. Jika mereka bertemu untuk pertama kalinya kembali di titik A setelah Toto berjalan n putaran dan Titi berjalan m putaran, maka nilai m+n adalah…
      A. 6
      B. 11
      C. 20
      D. 22
      Penyelesaian:
      KPK dari 72 dan 60 yaitu 360
      Sedangkan lapangan berbentuk persegi yang panjang sisinya 180 m, seperti dibawah ini

      Karena Toto dan Titi mulai berjalan dari titik A, maka diperoleh
      Jika Toto berjalan sepanjang 360 m, maka Toto sampai ke titik A kembali selama 10 menit
      Jika Titi berjalan sepanjang 360 m, maka Titi sampai ke titik A kembali selama 12 menit
      Dan KPK dari 10 dan 12 yaitu 60
      Sehingga Toto dan Titi akan bertemu kembali di titik A setelah 60 menit kemudian.
      Diperoleh
      Toto 5 putaran selama 60 menit (\frac{360}{72})
      Titi 6 putaran selama 60 menit (\frac{360}{60})
      Maka, nilai n+m=5+6=11.
      Jawaban B
    6. Diberikan tiga bilangan asli yakni 1418, 2134, 2850. Jika sisa masing-masing bilangan tersebut dibagi x adalah sama yaitu y dengan y\neq 0, maka hasil x+y yang mungkin adalah…
      A. 165
      B. 179
      C. 344
      D. 716
      Penyelesaian:Karena sisa masing-masing 1418, 2134, dan 2830 jika dibagi x adalah y, maka dapat ditulis seperti berikut ini
      1418=k_1x+y …(1)
      2134=k_2x+y …(2)
      2830=k_3x+y …(3) dengan k_1,k_2, dan k_3 \in \mathbb{Z}
      Persamaan (1) dan (2) dieliminasi,sehingga diperoleh

          \begin{align*} 716&=(k_2-k_1)x\\ 2\cdot 358&=(k_2-k_1)x\\ 4\cdot 179&=(k_2-k_1)x \end{align*}

      Dari proses diatas, kita dapat menyimpulkan bahwa y\neq 0, karena jika y=0 maka option A, B, dan D benar.
      Tetapi hal tersebut tidak mungkin.
      Sehingga dapat disimpulkan bahwa y\neq 0, maka jelaslah jawabannya adalah option C yaitu 344.
      Maka perhatikan
      Jika x=179 , maka
      1418=7\cdot 179+165
      2134=11\cdot 179+165
      2830=15\cdot 179+165
      Jadi, jelaslah bahwa y=165
      Sehingga, x+y=179+165=344
      Jawaban C

 

  1. Dua dadu dan sekeping mata uang dilempar sekaligus, kemudian dicatat sisi yang muncul. Jika diasumsikan munculnya setiap mata dadu seimbang dan munculnya setiap mata uang seimbang, maka peluang akan didapatkan sisi angka pada mata uang dan kedua mata dadu yang berjumlah 5 adalah…
    A. \frac{1}{16}
    B. \frac{1}{18}
    C. \frac{1}{36}
    D. \frac{1}{72}
    Penyelesaian:
    Ruang sampelnya yaitu
    6\times 6\times 2=72
    Jadi, n(S)=72
    Banyaknya cara untuk mendapatkan sisi angka pada mata uang dan kedua mata dadu berjumlah 5, yaitu
    4 1 A
    1 4 A
    2 3 A
    3 2 A
    Misalkan P(A) adalah peluang untuk mendapatkan sisi angka pada mata uang dan kedua mata dadu berjumlah 5
    Sehingga,

         \begin{align*} P(A)&=\frac{n(A)}{n(S)}\\ &=\frac{4}{72}\\ &=\frac{1}{18} \end{align*}

    Jadi, peluang untuk mendapatkan sisi angka pada mata uang dan kedua mata dadu berjumlah 5 adalah \frac{1}{18}
    Jawaban B

  2. Nilai n yang memungkinkan agar 2^{13}+2^{10}+2^n merupakan kuadrat sempurna adalah…
    A. 5
    B. 7
    C. 12
    D. 14
    Penyelesaian:
    Ingat bentuk (a+b)^2=a^2+2ab+b^2
    Jika 2^{13}+2^{10}+2^n dijabarkan dengan menerapkan sifat perpangkatan dan perkalian bilangan berpangkat seperti bentuk diatas yaitu

        \begin{align*} 2^{13}+2^{10}+2^n&=2^{10}+2^{13}+2^n\\ &=(2^5)^2+2\cdot 2^5\cdot 2^7+(2^7)^2 \end{align*}

    maka haruslah 2^n=(2^7)^2=2^{14}
    Untuk memperkuat yang diperoleh diatas, perhatikan bahwa

        \begin{align*} 2^{13}+2^{10}+2^{14}&=8.192+1.024+16.384\\ &=25.600 \end{align*}

    Maka, \sqrt{25.600}=160
    Jadi, n yang memenuhi adalah n=14
    Jawaban D

  3. Didefinisikan fungsi f(n)=2^{n-1}+2^n-2^{n+1} untuk setiap bilangan asli n. Nilai f(1)+f(2)+…+f(5) adalah…
    A. -31
    B. -15
    C. 15
    D. 31
    Penyelesaian:
    Fungsi f(n)=2^{n-1}+2^n-2^{n+1}
    Akan dicari nilai f(1)+f(2)+…+f(5) yaitu
    f(1)=2^0+2^1-2^2=-1
    f(2)=2^1+2^2-2^3=-2
    f(3)=2^2+2^3-2^4=-4
    f(4)=2^3+2^4-2^5=-8
    f(5)=2^4+2^5-2^6=-16
    Maka

        \begin{align*} f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)&=(-1)+(-2)+(-4)+(-8)+(-16)\\ &=(-31) \end{align*}

    Jawaban A

  4. Suatu taman kota dibatasi oleh lintasan lari berbentuk lingkaran (seperti pada gambar) dan tepat di titik pusat taman dibangun tugu (T) yang dihiasi lampu. Disepanjang tepi bagian dalam taman, diletakkan 12 bangku permanen (B) secara berurutan, sebut B_{1}, B_{2}, B_{3}, …, B_{12}. Jarak antara dua bangkuyang berurutan dibuat sama (termasuk dari B_{12} ke B_{1}). Jarak tugu kelintasan lari adalah 50 m. Bakri, Bima, dan Budi berlari pada lintasan lari mulai didepan bangku B_{1}.
    Bakri dan Bima berlari searah perputaran jarum jam (dari B_{1} ke arah B_{2}), sedangkan Budi berlari mengambil arah yang berlawanan. Jika setelah 20 menit posisi Bakri didepan bangku B_{7}, Bima didepan bangku B_{6}, dan Budi didepan bangku B_{4}, maka jarak total yang telah ditempuh tiga orang ini mendekati … meter (gunakan \pi=3,14).
    A. 549
    B. 523
    C. 471
    D. 392
    Penyelesaian:
    Diketahui jari-jari taman (r) adalah 50 m dan \pi=3,14
    Sehingga, keliling taman (K) tersebut yaitu

        \begin{align*} K&=2\pi r\\ &=2\times 3,14\times 50\\ &=314 \end{align*}

    Karena jarak antara bangku satu dengan bangku yang berdekatan berjarak sama, maka jarak antara bangku satu dengan bangku yang berjarak sama yaitu
    314:12=26,167
    Diperoleh
    Jarak Bakri dari bangku B_{1} yaitu 26,167\times 6=157,002 (searah jarum jam di depan bangku B_{7})
    Jarak Bima dari bangku B_{1} yaitu 26,167\times 5=130,835 (searah jarum jam di depan bangku B_{6})
    Jarak Budi dari bangku B_{1} yaitu 26,167\times 9=235,503 (berlawanan arah jarum jam di depan bangku B_{4})
    Jadi,
    157,002+130,835+235,503=523,34
    Sehingga jarak total yang telah ditempuh tiga orang ini mendekati  523 meter.
    Jawaban B

  5. Diketahui ABCD adalah trapesium, AB sejajar CD, dan AB+CD=BC.
    Jika panjang AD=12, maka nilai AB\times CD adalah …
    A. 46
    B. 42
    C. 38
    D. 36
    Penyelesaian:
    Perhatikan gambar dibawah ini
    Dik:
    AB+CD=BC
    AD=EC=12
    Dit:
    AB\times CD=\cdot?
    Penyelesaian:

        \begin{align*} BE&=AB-AE\\ &=AB-CD \end{align*}

    Berdasarkan teorema phytagoras, maka

        \begin{align*} BC^2&=CE^2+BE^2\\ (AB+CD)^2&=CE^2+(AB-CD)^2\\ AB^2+2\cdot AB\cdot CD+CD^2&=CE^2+AB^2-2\cdot AB\cdot CD+CD^2\\ 4\cdot AB\cdot CD&=CE^2\\ 4\cdot AB\cdot CD&=12^2\\ AB\cdot CD&=\frac{144}{4}\\ AB\times CD&=36 \end{align*}

    Jadi, AB\times CD=36
    Jawaban D

  6. Anton dan kakaknya berulang tahun pada tanggal 1 Januari. Pada tahun 2015 umur Anton dan kakaknya sama dengan jumlah angka-angka tahun kelahirannya masing-masing. Jika orang tua mereka menikah 25 tahun yang lalu, maka jumlah umur Anton dan kakaknya pada tahun 2015 yang mungkin adalah … tahun.
    A. 22
    B. 24
    C. 26
    D. 30
    Penyelesaian:
    Diketahui
    Umur kakak dan adik pada tanggal 1 Januari 2015 sama dengan jumlah angka-angka tahun kelahiranya, sehingga yang mungkin adalah
    Umur Kakak 20 tahun pada tahun 2015 yaitu 1+9+9+3=22, dan
    Umur Anton 4 tahun pada 2011 yaitu 2+0+1+1=4
    Karena di soal menanyakan jumlah umur Anton dan kakaknya pada tahun 2015 yang mungkin, maka jumlah umur Anton dan kakaknya yang mungkin adalah 22+4=26 tahun.
    Jawaban C
  7. Penyedia jasa pengasuh bayi usia dibawah tiga tahun, memberlakukan tarif upah pengasuh bayi sebagai berikut. Upah setiap jam sebesar Rp. 40.000,00 untuk tiga jam pertama. Selanjtnya diberlakukan aturan sebagai berikut. Utnuk setiap satu jam berikutnya disiang hari (mulai pukul 06.00 samapai dengan pukul 18.00), dikenakan upah sebesar 20% lebih banyak satu jam sebelumnya. Adapun upah untuk malam hari diatas tiga jam pertama dikenakan tetap sebesar Rp. 30.000,00 setiap jam. Jika keluarga Adang harus menitipkan bayinya pada pukul 16.00 sampai pukul 09.00 hari berikutnya, maka keluarga Adang harus membayar biaya penitipan bayi tersebut sebesar Rp….
    A. 571.040,00
    B. 581.040,00
    C. 585.600,00
    D. 595.600,00
    Penyelesaian:
    Keluarga Adang harus menitipkan bayinya pada pukul 16.00 sampai pukul 09.00 hari berikutnya, berikut rinciannya
    3\times 40.000,00=120.000,00 (pukul 16.00 – 19.00, tiga jam pertama)
    11\times 30.000,00=330.000,00 (pukul19.00 – 06.00, malam hari)
    30.000,00+\frac{20}{100}\times 30.000,00=36.000,00 (pukul 06.00 – 07.00, 20% dari upah sebelumnya)
    36.000,00+\frac{20}{100}\times 36.000,00=43.200,00 (pukul 07.00 – 08.00, 20% dari upah sebelumnya)
    43.200,00+\frac{20}{100}\times 43.200,00=51.840,00 (pukul 08.00 – 09.00, 20% dari upah sebelumnya)
    Diperoleh
    120.000,00+330.000,00+36.000,00+43.200,00+51.840,00=581.040,00
    Sehingga, keluarga Adang harus membayar biaya penitipan bayi tersebut sebesar Rp. 581.040,00.
    Jawaban B
  8. Suatu kardus polos dari kertas berbentuk kubus. Volume kardus adalah 64.000 cm^3. Fitri memotong tepat pada rusuk kubus dan mengambil dua sisi bagian samping kardus tersebut. Fitri melukis garis pada satu potongan sisi kardus dan diperoleh satu segitiga siku-siku yang perbandingan dua sisi siku-siku adalah 1:2. Pada satu potongan sisi kardus yang lain dilukis satu segitiga sama kaki (lihat gambar).
    Jika ternyata luas segitiga ini sama luasnya, maka panjang sisi yang sama pada segitiga sama kaki adalah… cm.
    A. 10
    B. 10\sqrt{2}
    C. 20
    D. 20\sqrt{2}
    Penyelesaian:
    Diketahui:
    Volume kardus =64.000
    Misalkan sisi kardus adalah s, maka

        \begin{align*} V&=s^3\\ 64.000&=s^3\\ s&=\sqrt[3]{64.000}\\ &=40 \end{align}

    Perbandingan dua siku-siku adalah 1:2
    Kedua segitiga memiliki luas yang sama
    Ditanyakan:
    Panjang sisi yang sama pada segitiga sama kaki adalah \cdot cm
    Penyelesaian:
    Perhatikan gambar dibawah ini

    Dari yang diketahui diatas, maka diperoleh AB=PQ=s=40 dan BC=PS=SQ=20
    Sehingga
    Luas segtiga ABC= Luas segitiga PQR

        \begin{align*} \frac{1}{2}\times AB\times BC&=\frac{1}{2}\times PQ\times RS\\ 40\times 20&=40\times RS\\ RS&=20 \end{align*}

    Dengan teorema phytagoras, diperoleh

        \begin{align*} PR^2&=PS^2+RS^2\\ PR&=\sqrt{20^2+20^}\\ &=\sqrt{800}\\ &=20\sqrt{2} \end{align*}

    Maka panjang sisi yang sama pada segitiga sama kaki adalah 20\sqrt{2}
    Jawaban D

 

Mudah-mudahan bermanfaat

Untuk melihat soal Bagian B silahkan klik disini

See you 🙂

3 thoughts on “Soal dan Pembahasan OSN (Olimpiade Sains Nasional) SMP Tahun 2015

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *