Induksi Matematika

Bismillah

Assalaamu alaikum warahmatullaahi wabarakaatuh readers

Salah satu cara pembuktian dalam matematika adalah pembuktian dengan cara induksi matematika. Tulisan author kali ini akan membahas bagaimana langkah-langkah pembuktian dengan cara induksi dan contoh soal yang akan dibuktikan menggunakan induksi.
Induksi matematika berisi tentang pembuktian terkait bilangan bulat (\mathbb{Z}) dan bilangan asli (\mathbb{N})
Langkah-langkah pembuktian dengan induksi matematika yaitu

  • Misalkan P(n) adalah pernyataan yang akan dibuktikan untuk setiap bilangan asli
  • Langkah (1) : Ditunjukkan bahwa P(1) benar
  • Langkah (2) : Diasumsikan bahwa P(n) benar untuk setiap n\in \mathbb{N}, dan akan ditunjukkan bahwa P(n+1) benar

atau

  • Misalkan P(n) adalah pernyataan yang akan dibuktikan berlaku benar untuk setiap n>m, n, m \in \mathbb{N}
  • Langkah (1) : Ditunjukkan bahwa P(m) benar
  • Langkah (2) : Diasumsikan bahwa P(k) benar untuk setiap k>m, dan akan ditunjukkan bahwa P(k+1) benar

Langkah (1) merupakan langkah dasar, sedangkan langkah (2) merupakan langkah induktif

Itulah tadi langkah-langkah pembuktian dengan induksi matematika
simpel kan? 🙂

Selanjutkan kita beralih ke contoh soal yang dibuktikan dengan cara induksi matematika

Contoh 1

Buktikan bahwa 1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}, \forall n\in \mathbb{N}!
Bukti:
Akan dibuktikan 1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}, \forall n\in \mathbb{N} dengan induksi
Misalkan P(n):1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2}
Langkah (1) : Akan ditunjukkan bahwa P(1) benar yaitu P(1)=\frac{1(1+1)}{2}=1
Langkah (2) : Diasumsikan bahwa P(n) benar, dan akan ditunjukkan bahwa P(n+1) benar yaitu

    \begin{align*} P(n+1)&= 1+2+3+\cdots+n+(n+1)\\ &=\frac{n(n+1)}{2}+(n+1)\\ &=\frac{n^2+n}{2}+(n+1)\\ &=\frac{n^2+n}{2}+\frac{2n+2}{2}\\ &=\frac{n^2+3n+2}{2}\\ &=\frac{(n+2)(n+1)}{2}\\ &=\frac{((n+1)+1)(n+1)}{2} \end{align*}

Jadi, P(n+1) benar
Kesimpulan P(n):1+2+3+\cdots+n=\frac{n(n+1)}{2} benar \forall n \in \mathbb{N}

Contoh 2

Buktikan bahwa n^2\leq 2^n, \forall n \in \mathbb{N}, n\geq 4!
Bukti:
Akan dibuktikan n^2\leq 2^n dengan induksi
Misalkan P(n): n^2\leq 2^n \forall n\in \mathbbN, n\geq 4
Langkah (1) : Akan ditunjukkan bahwa P(4) benar yaitu

    \begin{align*} P(4)&=4^2\leq 2^4\\ &=16\leq 16 \end{align*}

Langkah (2) : Diasumsikan bahwa P(n) benar, dan akan ditunjukkan bahwa P(n+1) benar yaitu

    \begin{align*} P(n+1)&=(n+1)^2\\ &=n^2+2n+1\\ &\leq 2^n+2n+1\\ &\leq 2^n+2^n\\ &=2^n\cdot 2\\ &=2^{n+1} \end{align*}

atau

    \begin{align*} P(n+1)&= 2^{n+1}\\ &=2^n\cdot 2\\ &\geq n^2\cdot 2\\ &=n^2+n^2\\ &=n^2+2n+1\\ &=(n+1)^2 \end{align*}

Jadi, P(n+1) benar
Kesimpulan P(n): n^2\leq 2^n benar \forall n\in \mathbb{N}, n\leq 4

Contoh 3

Buktikan bahwa 1\cdot 2\cdot 3+2\cdot 3\cdot 4+\cdots +n\cdot (n+1)\cdot (n+2)=3!{{n+3}\choose 4}\forall n\in \mathbb{N}!
Bukti:
Akan dibuktikan bahwa 1\cdot 2\cdot 3+2\cdot 3\cdot 4+\cdots +n\cdot (n+1)\cdot (n+2)= 3!{{n+3}\choose 4} dengan induksi
Misalkan P(n):1\cdot 2\cdot 3+2\cdot 3\cdot 4+\cdots +n\cdot (n+1)\cdot (n+2)= 3!{{n+3}\choose 4}
Langkah (1) : Akan ditunjukkan bahwa P(1) benar yaitu

    \begin{align*} P(1)&= 3!{{1+3}\choose 4}\\ &=3!{ 4 \choose 4}\\ &=3!\\ &=6 \end{align*}

Langkah (2) : Diasumsikan bahwa P(n) benar, dan akan ditunjukkan bahwa P(n+1) benar yaitu

    \begin{align*} P(n+1)&= 1\cdot 2\cdot 3+2\cdot 3\cdot 4+\cdots +n\cdot (n+1)\cdot (n+2)+ (n+1)\cdot (n+1+1)\cdot (n+1+2)\\ &=1\cdot 2\cdot 3+2\cdot 3\cdot 4+\cdots +n\cdot (n+1)\cdot (n+2)+ (n+1)\cdot (n+2)\cdot (n+3)\\ &=3!{{n+3}\choose 4}+(n+1)\cdot (n+2)\cdot (n+3)\\ &=3!{{n+3}\choose 4}+(n^2+3n+2)\cdot (n+3)\\ &=3!\frac{(n+3)!}{4!(n+3-4)}+(n^3+6n^2+11n+6)\\ &=3!\frac{(n+3)!}{4!(n-1)}+(n^3+6n^2+11n+6)\\ &=3!\frac{(n+3)(n+2)(n+1)(n)(n-1)!}{4\cdot 3!(n-1)!}+(n^3+6n^2+11n+6)\\ &=\frac{n^4+6n^3+11n^2+6n}{4}+\frac{4n^3+24n^2+44n+24}{4}\\ &=\frac{n^4+10n^3+35n^2+50n+24}{4}\\ &=\frac{(n^2+7n+12)(n^2+3n+2)}{4}\\ &=\frac{(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)}{4}\\ &=3!\frac{(n+4)(n+3)(n+2)(n+1)(n)!}{4\cdot 3!\cdot n!}\\ &=3!\frac{(n+4)!}{4!\cdot (n+4-4)!}\\ &=3!{{n+4}\choose 4}\\ &=3!{{n+1+3}\choose 4} \end{align*}

Jadi, P(n+1) benar
Kesimpulan P(n): 1\cdot 2\cdot 3+2\cdot 3\cdot 4+\cdots +n\cdot (n+1)\cdot (n+2)=3!{{n+3}\choose 4}\forall n\in \mathbb{N}

Bagi readers yang ingin mencoba menyelesaikan soal pembuktian Induksi Matematika, author menyediakan beberapa soal untuk dijadikan sebagai latihan 🙂

  1. Buktikan dengan induksi matematika bahwa jumlah n bilangan ganjil positif yang pertama sama dengan n^2!
  2. Gunakan induksi matematika untuk membuktikan bahwa:
    1+2+2^2+2^3+\cdots +2^n=2^{n+1}-1
    Untuk setiap n bilangan bulat positif!
  3. Untuk setiap bilangan asli, dengan n\geq 1 berlaku:
    \frac{1}{1(2)}+\frac{1}{2(3)}+\frac{1}{3(4)}+\cdots +\frac{1}{n(n+1)}=\frac{n}{n+1}
    Buktikan dengan induksi matematika!

Itulah tadi langkah-langkah pembuktian dengan induksi matematika, beserta contohnya

Mudah-mudahan bermanfaat

Wassalaam 🙂

5 thoughts on “Induksi Matematika

  1. I have not checked in here for some time as I thought it was getting boring, but the last several posts are great quality so I guess I¦ll add you back to my everyday bloglist. You deserve it my friend 🙂

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *