Prinsip Induksi Matematika

Bismillah

Tulisan author kali ini akan membahas History dan Prinsip Induksi Matematika.

Induksi matematika merupakan teknik pembuktian yang baku dalam matematika. Melalui induksi matematika, kita dapat mengurangi langkah pembuktian yang sangat rumit untuk menemukan suatu kebenaran dari pernyataan matematis hanya dengan sejumlah langkah terbatas yang cukup mudah. Prinsip induksi matematika memiliki efek domino (jika domino disusun berjajar dengan jarak tertentu, saat satu ujung domino dijatuhkan ke arah domino lain, maka semua domino akan jatuh satu per satu).

Coba perhatikan gambar dibawah ini!

Historis

Pertama mengetahui penggunaaninduksi matematika adalah dalam karya matematis abad ke-16 Francesco Maurolico (1494-1575). Maurolico menulis secara ekstensif pada karya-karya matematika klasik dan membuat banayk kontribusi kepada geometri dan optik. Dalam bukunya Arithmeticorum Libri Duo, Maurolico menyajikan berbagia sifat-sifat ini. Untuk bukti beberapa sifat ini Maurolico mengemukakan metode induksi matematis. Penggunaan induksi matematis pertamanya dalam buku ini adalah untuk membuktikan bahwa jumlah dari n bilangan bulat positif ganjil pertama sama dengan n^2.

Ingat, dengan induksi matematika dapat melakukan pembuktian kebenaran suatu pernyataan matematika yang berhubungan dengan bilangan asli, bukan untuk menemukan formula.

Prinsip Induksi Matematika

Misalkan P(n) adalah pernyataan yang akan dibuktikan untuk setiap bilangan asli.PernyataanP(n) benar jika memenuhi langkah berikut ini:

  • Langkah Awal (Basic Step) : P(1) benar
  • Langkah Induksi (Induction Step) : Jika P(k) benar, maka P(k+1) benar, untuk setiap k bilangan asli.

Pada proses pembuktian dengan prinsip Induksi Matematika, utnuk langkah awal tidak selalu diilih untuk n=1, n=2, atau n=3, tetapi dapat dipilih sebarang nilai n sedemikian sehingga dapat mempermudah supaya proses langkah awal dipenuhi. Selanjutnya, yang ditemukan pada langkah awal merupakan modal untuk langkah induksi. Artinya, jika P(1) benar, maka P(2) benar; jika P(2) benar, maka P(3) benar, dan seterusnya, sehigga disimpulkan P(k) benar. Dengan menggunakan P(k) benar, makaakan ditunjukkan P(k+1) benar. Jika P(n) memenuhi kedua prinsip induksi matematika, maka formula P(n) terbukti benar. Jika salah satu dari kedua prinsip tidak dipenuhi, maka formula P(n) salah.

Salah satu contoh soal yang menggunakan induksi matematika yaitu

Buktikan dengan induksi bahwa untuk setiap bilangan asli n, berlaku \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{n}}\le 2\sqrt{n}-1
Bukti:
Akan dibuktikan bahwa \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{n}}\le 2\sqrt{n}-1,\forall n\in \mathbb{N}
Perhatikan bahwa
Akan ditunjukkan bahwa untuk n=1 benar, yaitu

    \begin{align*} \frac{1}{\sqrt{1}}&\le \frac{1}{1}\\ &\le 1\\ &\le 2-1\\ &\le 2(1)-1\\ &\le 2\sqrt{1}-1 \end{align*}

Maka, n=1 benar
Asumsikan untuk n=k benar, yaitu
\frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{k}}\le 2\sqrt{k}-1
dan akan ditunjukkan bahwa untuk n=k+1 benar, yaitu

    \begin{align*} \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{k}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}&\le 2\sqrt{k}-1+\frac{1}{\sqrt{k+1}}\\ &\le \frac{(2\sqrt{k}-1)(\sqrt{k+1})}{\sqrt{k+1}}+\frac{1}{\sqrt{k+1}}\\ &\le \frac{2\sqrt{k(k+1)}-\sqrt{k+1}+1}{\sqrt{k+1}}\\ &\le \frac{2\sqrt{k^2+k}-\sqrt{k+1}+1}{\sqrt{k+1}}\\ &\le \frac{2\sqrt{k^2+2k+1}-\sqrt{k+1}}{\sqrt{k+1}} &[\frac{2\sqrt{k^2+k}-\sqrt{k+1}+1}{\sqrt{k+1}}\le \frac{2\sqrt{k^2+2k+1}-\sqrt{k+1}}{\sqrt{k+1}}]\\ &\le \frac{2\sqrt{(k+1)^2}-\sqrt{k+1}}{\sqrt{k+1}}\\ &\le \frac{2(k+1)-\sqrt{k+1}}{\sqrt{k+1}}\\ &\le \frac{2(k+1)}{\sqrt{k+1}}-\frac{\sqrt{k+1}}{\sqrt{k+1}}\\ &\le 2\sqrt{k+1}-1 \end{align*}

Maka, n=k+1 benar
Kesimpulan: \frac{1}{\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{3}}+\cdots +\frac{1}{\sqrt{n}}\le 2\sqrt{n}-1 benar, \forall n\in \mathbb{N}

Para readers yang ingin melihat contoh soal dan pembahasan, serta soal pembuktian dengan induksi matematika yang lain, klik disini

Mudah-mudahan bermanfaat šŸ™‚

Kurang lebihnya mohon dimaafkan

Wassalam

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *