Materi Logaritma

Pengertian Logaritma

Banyak diantara kita, termasuk author sendiri saat dibangku sekolah membaca {}^a\log{b}} yaitu “a log b.”

Hmmm ternyata kita kurang tepat selama ini yah readers 🙁

Pada post sebelumnya, author telah mempost mengenai bilangan berpangkat, misalnya 2^4=16.
2 disebut sebagai basis,
4 sebagai pangkat (eksponen), dan
16 sebagai hasil pemangkatan 2 oleh 4.
Jika pertanyaannya dibalik, maka 2 pangkat berapa menghasilkan nilai 16, jawabannya adalah 4.

Operasi kebalikan dari menentukan nilai pemangkatan menjadi menentukan pangkatnya disebut sebagai operasi logartima, yang dapat ditulis 2^4=16\iff {}^2\log{16}}=4
Secara umum:
a^x=b\to{}^a\log{b}}=x, sebaliknya
{}^a\log{b}}=x\to a^x=b.

Hubungan antara bilangan berpangkat dan logaritma dapat dinyatakan sebagai berikut:
{}^a\log{b}}=x\to a^x=b
Dengan :
a adalah bilangan pokok atau basis, a>0,a\neq1;
b adalah numerus (yang dicari nilai logaritmanya), b>0;
x adalah hasil logaritma.
({}^a\log{b}}=x dibaca ”logaritma b dengan basis a”).

Ingat {}^a\log{b}} dibaca ”logaritma b dengan basis a” bukan “a log b” 🙂

Bentuk logaritma dapat dinyatakan dalam bentuk pangkat dan sebaliknya, bentuk pangkat dapat dinyatakan dalam bentuk logaritma.

Sifat-Sifat Logaritma

Adakalanya kita tidak diperbolehkan menggunakan kalkulator dan tabel untuk mengerjakan perhitungan-perhitungan logaritma, sedangkan perhitungan yang diminta sangat sulit seperti \log 40.000 dan sebagainya. Dengan menggunakan sifat-sifat logaritma, maka bentuk-bentuk perhitungan yang sulitb akan relative lebih mudah untuk diselesaikan.
Sifat jika a,b,c bilangan real positif dan a\neq1, maka berlaku sifat-sifat berikut:

  1. Untuk a>0,a\neq1, berlaku:
    {}^a\log⁡{a}}=1, {}^a\log⁡{1}}=0, dan \log⁡{10}}=1
    Bukti:
    Setiap bilangan apabila dipangkatkan dengan 1 hasilnya adalah bilangan itu sendiri. Jadi, a^1=a maka {}^a\log⁡{a}}=1.
    Setiap bilangan tidak sama dengan nol apabila dipangkatkan nol hasilnya selalu satu.
    Jadi, a^0=1 maka {}^a\log⁡{1}}=0.
    \log{10}} adalah suatu bentuk logaritma dengan basis 10 dan numerusnya 10.
    Jadi, \log{10}}=1.
  2. Untuk a,b,c>0,a\neq1, serta a,b,c\in\mathbb{R}, berlaku:
    {}^a\log{⁡b}} +{}^a\log⁡{c}} ={}^a\log⁡{bc}}
    Bukti:
    Misalkan {}^a\log{⁡b}}=x dan {}^a\log{⁡c}}=y artinya a^x=b dan a^y=c.
    Sehingga

        \begin{align*} b.c&= a^x\cdot a^y\\ &= a^{x+y} \end{align*}

    Maka
    {}^a\log⁡{bc}}=x+y
    Oleh karena itu,
    {}^a\log{⁡b}} +{}^a\log{⁡c}}=x+y={}^a\log{⁡bc}}

  3. Untuk a,b,c>0,a\neq1, serta a,b, dan c\in\mathbb{R} berlaku:
    {}^a\log{⁡b}-{}^a\log⁡{c} ={}^a\log⁡{\frac{b}{c}}}
    Bukti:
    Misalkan {}^a\log{⁡b}}=x dan {}^a\log{⁡c}}=y artinya a^x=b dan a^y=c.
    Sehingga

        \begin{align*} \frac{b}{c}&=\frac{a^x}{a^y}\\ &= a^{x-y} \end{align*}

    Maka
    {}^a\log{⁡b}}-{}^a\log⁡{c}}=x-y={}^a\log⁡{\frac{b}{c}}

  4. Untuk a,b>0,a\neq1,a,m, b\in \mathbb{R} berlaku:
    {}^a\log⁡{b^m}}=m{}^a\log⁡{b}}
    Bukti:
    {}^a\log⁡{b^m}}={}^a\log⁡{b\cdot b\cdot b\cdot b\cdots b}}
    {}^a\log⁡{b^m}}={}^a\log⁡{b}}+{}^a\log⁡{b}}+{}^a\log⁡{b}}+\cdots +{}^a\log⁡{b}}
    {}^a\log⁡{b^m}}=m{}^a\log⁡{b}}
  5. Untuk a,c>0, dan a,c\neq 1, serta a,b dan c\in\mathbb{R}, berlaku:
    {}^a\log{⁡b}} = \frac{{}^c\log{b}}{{}^c\log⁡{a}}=\frac{1}{{}^b\log⁡{a}}
    Bukti:
    {}^a\log{⁡b}}=n\iff b=a^n
    \log⁡{b}}=\log⁡{a^n}}\iff \log⁡{b}}=n\log⁡{a}}
    \iff n=\frac{{}^c\log⁡{b}}{{}^c\log⁡{a}}
    Jika c=b
    Maka
    {}^a\log⁡{b}}=\frac{{}^c\log⁡{b}}{{}^c\log⁡{a}}=\frac{1}{{}^b\log⁡{a}}
  6. Untuk a,b>0, serta a,n dan b\in \mathbb{R}, berlaku:
    a^{{}^a\log⁡{b}}}=b
    Bukti:
    {}^a\log{⁡b}}=n\iff b=a^n
    \iff b=a^{{}^a\log⁡{b}}
    Jadi, a^{{}^a\log{⁡b}}}= b
  7. Untuk a,b,m>0, serta a,m,n,b\in \mathbb{R}, berlaku:
    {}^{a^n}\log⁡{b^m}}=\frac{m}{n}{}^a\log⁡{b}}
    Bukti:
    {}^a\log{⁡b}}=p\iff a^p=b
    {}^{a^n}\log{b^m}}=q\iff b^m=a^{n\cdot q}
    Dari bentuk pangkat diatas diperoleh:
    b^m=a^{n\cdot q}\iff (a^p)^m=a^{n\cdot q}
    \iff a^{nq}=a^{mp}
    \iff nq=mp
    \iff q=\frac{m}{n} p
    Jadi, {}^{a^n}\log⁡{b^m}}=\frac{m}{n}{}^a\log⁡{b}}
  8. Untuk a,b,c>0,a,b, dan c\in \mathbb{R}, berlaku:
    {}^a\log{⁡b}}\cdot {}^b\log{⁡c}}={}^a\log⁡{c}}
    Bukti:
    {}^a\log{⁡b}}=p\iff a^p=b
    {}^b\log⁡{c}}=q\iff b^q=c
    Dari bentuk pangkat ersebut diperoleh
    c=b^q\iff c=(a^p)^q
    \iff c=a^{pq}
    Sehingga,
    {}^a\log⁡{c}}={}^a\log⁡{a^{pq}}
    {}^a\log⁡{c}}=pq{}^a\log⁡{a}}
    {}^a\log⁡{c}}=pq
    {}^a\log⁡{c}}={}^a\log{b}}\cdot {}^b\log⁡{c}}
    Jadi, {}^a\log⁡{c}}={}^a\log{b}}\cdot {}^b\log⁡{c}}
  9. Untuk a,b>0, serta a, b\in \mathbb{R}, berlaku:
    a^{n{}^a\log⁡{b}}}= b^n
    Bukti:
    n{}^a\log⁡{b}}=p\iff {}^a\log⁡{b^n}}=p
    b^n=a^p
    =a^{n{}^a\log⁡{b}}
    Jadi, a^{n{}^a\log⁡{b}}}=b^n
  10. Untuk a,b>0, serta a, b\in\mathbb{R}, berlaku:
    {}^{a^m}\log⁡{b}}=\frac{1}{m}{}^a\log⁡{b}}
    Bukti:
    {}^{a^m}\log{b}}=\frac{\log⁡{b}}{\log⁡{a^m}}
    {}^{a^m}\log{b}}=\frac{\log{⁡b}}{m\log{⁡a}}
    {}^{a^m}\log{b}}=\frac{1}{m}\cdot \frac{\log⁡{b}}{\log⁡{a}}
    {}^{a^m}\log{b}}=\frac{1}{m}{}^a\log⁡{b}}
    Jadi, {}^{a^m}\log⁡{b}}=\frac{1}{m}{}^a\log⁡{b}}

Persamaan dan Pertidaksamaan Logaritma

Persamaan Logaritma

Persamaan logaritma adalah persamaan yang variabelnya sebagai numerus atau sebagai bilangan pokok dari suatu logaritma.

Ada beberapa bentuk persamaan logaritma ini, diantaranya :

  1. {}^a\log⁡{f(x)}}={}^a\log⁡{m}}
    Jika {}^a\log⁡{f(x)}}={}^a\log⁡{m}},f(x)>0, maka f(x)=m.
    Penjelasan :
    Karna pernyataan Jika {}^a\log⁡{f(x)}}={}^a\log⁡{m}},f(x)>0, maka f(x)=m merupakan pernyataan berbentuk implikasi, maka dapat dinyatakan dalam P\to Q, yaitu
    P : {}^a\log⁡{f(x)}}={}^a\log⁡{m}},f(x)>0
    Q : f(x)=m
    Dalam implikasi, apabila Q bernilai benar, maka benar atau saahnya P tetap akan memberikan pernyataan yang bernilai benar. Sehingga yang akan dituju adalah f(x)=m.
    Agar {}^a\log⁡{f(x)}}={}^a\log⁡{m}} bernilai benar atau menghasilkan hasil yang sama, maka haruslah f(x)=m.
  2. {}^a\log⁡{f(x)}={}^b\log⁡{f(x)}
    Jika {}^a\log⁡{f(x)}={}^b\log⁡{f(x)}, a\neq b maka f(x)=1.
    Penjelasan :
    Karna pernyataan Jika {}^a\log⁡{f(x)}={}^b\log⁡{f(x)}, a\neq b, maka f(x)=1 merupakan pernyataan berbentuk implikasi, maka dapat dinyatakandalam P\to Q, yaitu
    P : {}^a\log⁡{f(x)}={}^b\log⁡{f(x)}, a\neq b
    Q : f(x)=1
    Dalam implikasi, apabila Q bernilai benar, maka benar atau saahnya P tetap akan memberikan pernyataan yang bernilai benar. Sehingga yang akan dituju adalah f(x)=1.
    Agar {}^a\log⁡{f(x)}={}^b\log⁡{f(x)} bernilai benar atau menghasilkan hasil yang sama, maka haruslah f(x)=1.
  3. {}^a\log⁡{f(x)}}={}^a\log{⁡g(x)}}
    Jika {}^a\log⁡{f(x)}}={}^a\log{⁡g(x)}}, dengan a,f(x),g(x)>0,a\neq1 maka f(x)=g(x).
    Penjelasan :
    Karna pernyataan Jika {}^a\log⁡{f(x)}}={}^a\log{⁡g(x)}} dengan a,f(x),g(x)>0,a\neq1maka f(x)=g(x) merupakan pernyataan berbentuk implikasi, maka dapat dinyatakan dalam P\to Q, yaitu
    P :{}^a\log⁡{f(x)}}={}^a\log⁡{g(x)}},  a,f(x),g(x)>0,a\neq1
    Q :f(x)=g(x)
    Dalam implikasi, apabila Q bernilai benar, maka benar atau salahnya P tetap akan memberikan pernyataan yang bernilai benar. Sehingga yang akan dituju adalah f(x)=g(x).
    Agar {}^a\log⁡{f(x)}}={}^a\log{⁡g(x)}} bernilai benar atau menghasilkan hasil yang sama, maka haruslah f(x)=g(x).
  4. {}^{f(x)}\log{⁡g(x)}}={}^{f(x)}\log⁡{h(x)}}
    Jika {}^{f(x)}\log{⁡g(x)}}={}^{f(x)}\log⁡{h(x)}}, dengan f(x),g(x),h(x)>0,dan f(x)\neq 1, maka g(x)=h(x).
    Penjelasan :
    Karna pernyataan Jika {}^{f(x)}\log{⁡g(x)}}={}^{f(x)}\log⁡{h(x)}}, dengan f(x),g(x),h(x)>0,dan f(x)\neq 1, maka g(x)=h(x) merupakan pernyataan berbentuk implikasi, maka dapat dinyatakan dalam P\to Q, yaitu
    P : {}^{f(x)}\log{⁡g(x)}}={}^{f(x)}\log⁡{h(x)}}, dengan f(x),g(x),h(x)>0f(x)\neq 1
    Q : f(x)=h(x)
    Dalam implikasi, apabila Q bernilai benar, maka benar atau saahnya P tetap akan memberikan pernyataan yang bernilai benar. Sehingga yang akan dituju adalah f(x)=h(x).
    Agar {}^{f(x)}\log{⁡g(x)}}={}^{f(x)}\log⁡{h(x)}}, bernilai benar atau menghasilkan hasil yang sama, maka haruslah f(x)=h(x).
  5. A{}^p\log⁡^2{f(x)}+B{}^p\log⁡{f(x)}}+C=0
    Penjelasan :
    Terlebih dahulu, misalkan y={}^p\log{f(x)}}. Dari pemisalan ini, diperoleh Ay^2+By+C=0. Nilai y yang kalian peroleh, substitusi kembali pada pemisalan y={}^p\log⁡{f(x)}}, sehingga kalian memperoleh nilai x.

Pertidaksamaan Logaritma

Untuk a\in \mathbb{R}, a>0, a\neq 0, serta fungsi f(x) dan g(x), dapat dibentuk pertidaksamaan yaitu:

{}^a\log{f(x)}}>{}^a\log{g(x)}} atau {}^a\log{f(x)}}\ge {}^a\log{g(x)}}

{}^a\log{f(x)}}<{}^a\log{g(x)}} atau {}^a\log{f(x)}}\le {}^a\log{g(x)}}

Bentuk pertidaksamaan tersebut dapat diselesaikan bergantung pada nilai a (basisnya) yaitu:

  1. Untuk a>1, tanda ketidaksamaannya tetap (tidak berubah) yaitu:
    {}^a\log{f(x)}}>{}^a\log{g(x)}} solusinya f(x)>g(x)
    {}^a\log{f(x)}}\ge {}^a\log{g(x)}} solusinya f(x)\ge g(x)
    {}^a\log{f(x)}}<{}^a\log{g(x)}} solusinya f(x)<g(x)
    {}^a\log{f(x)}}\le {}^a\log{g(x)}} solusinya f(x)\le g(x)
  2. Untuk 0<a<1, tanda ketidaksamaannya berubah (dibalik) yaitu:
    {}^a\log{f(x)}}>{}^a\log{g(x)}} solusinya f(x)<g(x)
    {}^a\log{f(x)}}\ge {}^a\log{g(x)}} solusinya f(x)\le g(x)
    {}^a\log{f(x)}}<{}^a\log{g(x)}} solusinya f(x)>g(x)
    {}^a\log{f(x)}}\le {}^a\log{g(x)}}} solusinya f(x)\ge g(x)

Solusi syarat logaritma yaitu f(x)>0 dan g(x)>0

Sehingga solusi totalnya adalah semua nilai x yang memenuhi solusi umum dan solusi syarat yaitu irisan semua himpunan penyelesaiannya.

Mudah-mudahan bermanfaat

Have a nice read 🙂

2 thoughts on “Materi Logaritma

  1. You could definitely see your skills within the work you write. The world hopes for more passionate writers such as you who aren’t afraid to say how they believe. All the time follow your heart.

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *