Contoh Soal Keterbagian

Berikut merupakan contoh soal pembuktian dari materi keterbagian bilangan bulat. Bagi author yang belum membaca materi mengenai Keterbagian Bilangan Bulat, klik disini.

  1. Buktikan bahwa jika a\mid b dan c\mid d maka ac\mid bd.
    Bukti:
    Ambil  a,b,c, dan d\in \mathbb{Z} sebarang
    Berdasarkan definisi yaitu \forall a,b \in \mathbb{Z}, a\mid b \iff \exists k\in \mathbb{Z}, \ni b=ak, a\neq 0
    Perhatikan bahwa
    a\mid b\iff \exist m\in \mathbb{Z}, \ni b=am …(1)
    c\mid d\iff \exist n\in \mathbb{Z}, \ni d=cn …(2)
    Jika persamaan (1) dan (2) dikalikan, maka diperoleh

        \begin{align*} b\cdot d&=am\cdot cn\\ &=ac(mn) \end{align*}

    Karena m\in\mathbb{Z} \wedge n\in \mathbb{Z}, maka mn\in \mathbb{Z}. Hal ini berlaku karena operasi bilangan bulat bersifat tertutup.
    Berdasarkan definisi keterbagian, mn\in \mathbb{Z} dan bd&=ac(mn).
    Sehingga dapat dsimpulkan bahwa ac\mid bd.
    Jadi, a\mid b\wedge c\mid d\to ac\mid bd

  2. Buktikan bahwa jika a\mid (b^2-1) maka a\mid (b^4-1).
    Bukti:
    Ambil a,b\in \mathbb{Z} sebarang
    Berdasarkan definisi yaitu \forall a,b \in \mathbb{Z}, a\mid b \iff \exists k\in \mathbb{Z}, \ni b=ak, a\neq 0
    Perhatikan bahwa
    a\mid (b^2-1)\iff \exists m\in \mathbb{Z}, \ni b^2-1=am …(1)
    Kalikan persamaan (1) dengan b^2+1, yaitu

        \begin{align*} (b^2-1)(b^2+1)&=am(b^2+1)\\ b^4-1&=a(m(b^2+1)) \end{align*}

    Karena m\in \mathbb{Z} dan b^2+1\in \mathbb{Z} jadi (m(b^2+1))\in \mathbb{Z}. Hal ini berlaku karena operasi pada bilangan bulat bersifat tertutup.
    Berdasarkan definisi keterbagian, (m(b^2+1))\in \mathbb{Z} dan b^4-1=a(m(b^2+1)).
    Sehingga dapat disimpulkan bahwa a\mid (b^4-1)
    Jadi,a\mid (b^2-1)\to a\mid (b^4-1)

  3. Buktikan bahwa m\mid n\to m\mid(n-m).
    Bukti:
    Ambil m,n\in \mathbb{Z} sebarang
    m\mid n\iff \exists k\in \mathbb{Z}, \ni n=mk
    Perhatikan bahwa
    karena m\mid (-m) dan karena \exists (-1)\in \mathbb{Z}
    Sehingga
    -m=(-1)m
    Karena m\mid n dan m\mid (-m), maka berdasarkan teorema a\mid b dan a\mid c\to a\mid b+c.
    Diperoleh
    m\mid((-m)+n) atau m\mid(n-m)
  4. Buktikan bahwa m\mid n\to m\mid n^2.
    Bukti:
    Ambil m,n\in \mathbb{Z} sebarang
    m\mid n \iff \exists a\in \mathbb{Z}\ni n=am
    Perhatikan bahwa
    n\cdot n= am\cdot n                   [kedua ruas kali n]
    n^2=(an)m                      [s. assosiatif pada perkalian]
    Karena a\in \mathbb{Z} dan n\in \mathbb{Z}, maka (an)\in \mathbb{Z}.
    Berdasarkan definisi keterbagian yaitu (an)\in \mathbb{Z} dan n^2=(an)m, maka diperoleh m\mid n^2.
    Jadi, m\mid n\to m\mid n^2
  5. Buktikan bahwa m\mid p dan m\mid q\to m^2\mid pq.
    Bukti:
    Ambil m,p,q\in \mathbb{Z} sebarang
    m\mid q\iff \exists a\in \mathbb{Z} \ni q=am …(1)
    m\mid p\iff \exists b\in \mathbb{Z} \ni p=bm …(2)
    Jika persamaan (1) dan (2) dikalikan, maka diperoleh

        \begin{align*} p\cdot q&=am\cdot bm\\ &=m^2(ab) \end{align*}

    Karena a\in \mathbb{Z} dan b\in \mathbb{Z}, maka (ab)\in \mathbb{Z} dan pq=m^2(ab).
    Sehingga dapat disimpulkan bahwa m^2\mid pq.
    Jadi, \mid p dan m\mid q\to m^2\mid pq

  6. Buktikan bahwa p\mid (m-n) dan p\mid(m+n)\to p\mid (2n).
    Bukti:
    Ambil p,m,n\in \mathbb{Z} sebarang
    p\mid (m-n)\iff \exists a\in \mathbb{Z} \ni m-n=ap …(1)
    p\mid (m+n)\iff \exists b\in \mathbb{Z} \ni m+n=bp …(2)
    Perhatikan bahwa
    Jika persamaan (1) dan (2) dikurangkan, maka diperoleh

        \begin{align*} -2n&=ap-bp\\ &=p(a-b)\\ 2n&=p(b-a) \end{align*}

    Karena a\in \mathbb{Z}\wedge b\in \mathbb{Z}, maka (b-a)\in \mathbb{Z}. Hal ini berlaku karena operasi bilangan bulat bersifat tertutup.
    Berdasarkan definisi keterbagian yaitu jika (b-a)\in \mathbb{Z} dan 2n=p(b-a).
    Sehingga dapat disimpulkan bahwa p\mid 2n.
    Jadi, p\mid (m-n) \wedge p\mid (m+n)\to p\mid 2n

Inilah kurang lebih soal tentang keterbagian bilangan bulat, mudah-mudahan bermanfaat

Have a nice read, readers 🙂

5 thoughts on “Contoh Soal Keterbagian

  1. Terima kasih sudah berbagi. 🙂
    Ohya, pada pembahasan soal nomor 2, mungkin yang sdr maksud adalah mengalikan kedua ruas dengan b²+1 bukannya b²-1. Dan pada soal nomor 5, tertulis “| p”. Mungkin yang sdr maksud adalah “m | p”. Mohon dicek, siapa tahu sayanya saja yang keliru. Hehe

    Satu lagi. Berkaitan dengan saran validator saat memeriksa instrumen penelitian saya. Katanya kita perlu berhati-hati dalam menggunakan simbol “!” pada soal, karena memiliki arti sendiri dalam matematika (faktorial). Jadi, mungkin lebih baik jika menggunakan titik. Terima kasih. 🙂

    1. Oh iya yah
      Maaf, Author kurang fokus saat menulis
      InsyaaAllah akan lebih fokus kedepannya

      Saran dan perbaikannya sangat bagus, author sdh terapkan
      Terimakasih 🙂

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *