Pembuktian Soal Keterbagian menggunakan Induksi

Pada post kali ini, author akan membahas mengenai pembuktian soal keterbagian menggunakan induksi matematika

Buktikan untuk semua bilangan ganjil $n, n^3-n$ habis dibagi oleh $24$
Jawaban:
Akan dibuktikan dengan induksi bahwa $24\mid n^3-n, \forall n \in$ bilangan ganjil menggunakan induksi
Perhatikan bahwa
Akan ditunjukkan bahwa untuk $n=1$ benar, yaitu

$\begin{align*} n^3 -n&=1^3-1\\ &=1-1\\ &=0\quad&\text{[0 dapat dibagi dengan 24 dan hasilnya 0]} \end{align*}$

Maka, $n=1$ benar
Asumsikan bahwa $n=k$ benar, yaitu
$k^3-k=24b\quad&\text{[b adalah bilangan bulat sebarang]}$
maka akan ditunjukkan bahwa $n=k+2$ juga benar yaitu

$\begin{align*} (k+2)^3-(k+2)&=(k^2+4k+4)(k+2)-(k+2)\\ &=k^3+4k^2+4k+2k^2+8k+8-(k+2)\\ &=k^3+6k^2+12k+8-k-2\\ &=k^3+6k^2+11k+6\\ &=k^3+6k^2+12k-k+6\\ &=(k^3-k)+6k^2+12k+6\\ &=24b+6k^2+12k+6\\ &=24b+6(k^2+2k+1)\\ &=24(b+\frac{1}{4}(k+1)^2) \end{align*}$

Maka, $n=k+2$ benar
Kesimpulan: $24\mid n^3-n,$ benar $\forall n \in$ bilangan ganjil
Buktikan bahwa untuk semua bilangan asli ganjil $n,3^{2n}+2^{2n+2}$ habis dibagi oleh $5$
Jawaban :
Akan dibuktikan dengan induksi bahwa $5\mid 3^{2n}+2^{2n+2}, n\in$ bilangan asli ganjil
Perhatikan bahwa
Akan ditunjukkan bahwa untuk $n=1$ benar, yaitu

$\begin{align*} 3^{2n}+2^{2n+2}&=3^{2(1)} +2^{2(1)+2}\\ &=3^2+2^4\\ &=9+16\\ &=25\quad&\text{[25 habis dibagi 5]} \end{align*}$

Maka, $n=1$ benar
Asumsikan bahwa $n=k$ benar, yaitu
$3^{2k}+2^{2k+2}=5b\quad&\text{[b adalah bilangan bulat sebarang]}$
Akan ditunjukkan bahwa untuk $n=k+2$ benar, yaitu

$\begin{align*} 3^{2n}+2^{2n+2}&=3^{2(k+2)} +2^{2(k+2)+2}\\ &=3^{2k+4}+2^{2k+4+2}\\ &=3^4 (3^{2k} )+2^4 (2^{2k+2} )\\ &=81(3^{2k} )+16(2^{2k+2} )\\ &=80(3^{2k} )+3^{2k}+15(2^{2k+2})+2^{2k+2}\\ &=80(3^{2k} )+15(2^{2k+2})+(3^{2k}+2^{2k+2})\\ &=80(3^{2k} )+15(2^{2k+2})+5b\\ &=5(16(3^{2k} )+3(2^{2k+2})+b) \end{align*}$

Maka, $n=k+2$ benar
Kesimpulan: $5\mid 3^{2n}+2^{2n+2}$ benar, $\forall n\in$ bilangan asli ganjil
Buktikan dengan induksi matematika bahwa untuk semua bilangan asli ganjil $n, n(n^2+2)$ habis dibagi oleh $1$
Jawaban:
Akan dibuktikan dengan induksi bahwa $1\mid n(n^2+ 2), \forall n\in$ bilangan asli ganjil
Perhatikan bahwa
Akan ditunjukkan bahwa untuk $n = 1$ benar, yaitu

$\begin{align*} n(n^2 + 2)&=1(1^2 + 2)\\ &=1(3)\\ &= 3 \end{align*}$

Maka, $n=1$ benar
Asumsikan bahwa untuk $n=k$ benar, yaitu

$\begin{align*} n(n^2+ 2) &=k(k^2 + 2)\\ &= k^3+ 2k\\ &=b\quad&\text{[b adalah bilangan bulat sebarang]} \end{align*}$

akan ditunjukkan bahwa untuk $n = k + 2$ benar, yaitu

$\begin{align*} n(n^2 + 2)&=n^3+ 2n\\ &= (k+2)^3+ 2(k+n)\\ &= k^3+ 6k^2+ 12k+8+2k+4\\ &= (k^3+ 2k)+ 6k^2+ 12k+12\\ &= b+6(k^2+ 2k+2) \end{align*}$

Maka, $n=1$ benar
Kesimpulan: $1\mid n(n^2+ 2)$ benar, $\forall n\in$ bilangan asli ganjil
Buktikan dengan induksi matematika bahwa untuk semua bilangan asli ganjil $n, (1 + x)^n \ge 1 + nx$
Jawaban:
Akan dibuktikan dengan induksi bahwa $(1 + x)^n \ge 1 + nx, \froall n\in$ bilangan asli ganjil
Perhatikan bahwa
Akan ditunjukkan bahwa untuk $n = 1$ benar, yaitu

$\begin{align*} (1 + x)^1 &\ge1+(1)x\\ &=1+x \end{align*}$

Maka, $n=1$ benar
Asumsikan bahwa untuk $n = k$ benar, yaitu
$(1 + x)^k \ge 1 +kx$
Akan ditunjukkan untuk $n = k + 2$ benar, yaitu

$\begin{align*} (1+x)^{k+2}&\ge (1 + x)^k(1+x)\\ &\ge (1 + kx) (1 + x)^2 &[(1 + x)^k \ge 1 +kx]\\ &\ge (1 + kx) (x^2+2x + 1) \\ &= x^2 + 2x +1 +kx^3+2kx^2+kx\\ &\ge kx^3+ (1+2k)x^2+(2+k)x +\\ &\ge 0 + 0 + (2 +k)x + 1 &[(2k+1)x^2\ge 0 \wedge kx^3\ge 0]\\ &\ge 1 + (2+k)x\\ &\ge 1 + (k+2)x \end{align*}$

Maka, $n=k+2$ benar
Kesimpulan: $(1 + x)^n \ge 1 + nx$ benar, $\forall n\in$ bilangan asli ganjil

Mudah-mudahan bermanfaat 🙂

Have a nice read, readers

1 thought on “Pembuktian Soal Keterbagian menggunakan Induksi”

oprol evorter berkata:

Agustus 8, 2019 pukul 9:26 pm

I like this weblog very much, Its a rattling nice situation to read and get info . “If at first you don’t succeed, you’re running about average.” by M. H. Alderson.

Balas

TIN MATH

All About Math

Pembuktian Soal Keterbagian menggunakan Induksi

1 thought on “Pembuktian Soal Keterbagian menggunakan Induksi”

Tinggalkan Balasan Batalkan balasan