Pembuktian Soal Keterbagian menggunakan Induksi

Pada post kali ini, author akan membahas mengenai pembuktian soal keterbagian menggunakan induksi matematika

  1. Buktikan untuk semua bilangan ganjil n, n^3-n habis dibagi oleh 24
    Jawaban:
    Akan dibuktikan dengan induksi bahwa 24\mid n^3-n, \forall n \in bilangan ganjil menggunakan induksi
    Perhatikan bahwa
    Akan ditunjukkan bahwa untuk n=1 benar, yaitu

        \begin{align*} n^3 -n&=1^3-1\\ &=1-1\\ &=0\quad&\text{[0 dapat dibagi dengan 24 dan hasilnya 0]} \end{align*}

    Maka, n=1 benar
    Asumsikan bahwa n=k benar, yaitu
    k^3-k=24b\quad&\text{[b adalah bilangan bulat sebarang]}
    maka akan ditunjukkan bahwa n=k+2 juga benar yaitu

        \begin{align*} (k+2)^3-(k+2)&=(k^2+4k+4)(k+2)-(k+2)\\ &=k^3+4k^2+4k+2k^2+8k+8-(k+2)\\ &=k^3+6k^2+12k+8-k-2\\ &=k^3+6k^2+11k+6\\ &=k^3+6k^2+12k-k+6\\ &=(k^3-k)+6k^2+12k+6\\ &=24b+6k^2+12k+6\\ &=24b+6(k^2+2k+1)\\ &=24(b+\frac{1}{4}(k+1)^2) \end{align*}

    Maka, n=k+2 benar
    Kesimpulan: 24\mid n^3-n, benar \forall n \in bilangan ganjil

  2. Buktikan bahwa untuk semua bilangan asli ganjil n,3^{2n}+2^{2n+2} habis dibagi oleh 5
    Jawaban :
    Akan dibuktikan dengan induksi bahwa 5\mid 3^{2n}+2^{2n+2}, n\in bilangan asli ganjil
    Perhatikan bahwa
    Akan ditunjukkan bahwa untuk n=1 benar, yaitu

        \begin{align*} 3^{2n}+2^{2n+2}&=3^{2(1)} +2^{2(1)+2}\\ &=3^2+2^4\\ &=9+16\\ &=25\quad&\text{[25 habis dibagi 5]} \end{align*}

    Maka, n=1 benar
    Asumsikan bahwa n=k benar, yaitu
    3^{2k}+2^{2k+2}=5b\quad&\text{[b adalah bilangan bulat sebarang]}
    Akan ditunjukkan bahwa untuk n=k+2 benar, yaitu

        \begin{align*} 3^{2n}+2^{2n+2}&=3^{2(k+2)} +2^{2(k+2)+2}\\ &=3^{2k+4}+2^{2k+4+2}\\ &=3^4 (3^{2k} )+2^4 (2^{2k+2} )\\ &=81(3^{2k} )+16(2^{2k+2} )\\ &=80(3^{2k} )+3^{2k}+15(2^{2k+2})+2^{2k+2}\\ &=80(3^{2k} )+15(2^{2k+2})+(3^{2k}+2^{2k+2})\\ &=80(3^{2k} )+15(2^{2k+2})+5b\\ &=5(16(3^{2k} )+3(2^{2k+2})+b) \end{align*}

    Maka, n=k+2 benar
    Kesimpulan: 5\mid 3^{2n}+2^{2n+2} benar, \forall n\in bilangan asli ganjil

  3. Buktikan dengan induksi matematika bahwa untuk semua bilangan asli ganjil n, n(n^2+2) habis dibagi oleh 1
    Jawaban:
    Akan dibuktikan dengan induksi bahwa 1\mid n(n^2+ 2), \forall n\in bilangan asli ganjil
    Perhatikan bahwa
    Akan ditunjukkan bahwa untuk n = 1 benar, yaitu

        \begin{align*} n(n^2 + 2)&=1(1^2 + 2)\\ &=1(3)\\ &= 3 \end{align*}

    Maka, n=1 benar
    Asumsikan bahwa untuk n=k benar, yaitu

        \begin{align*} n(n^2+ 2) &=k(k^2 + 2)\\ &= k^3+ 2k\\ &=b\quad&\text{[b adalah bilangan bulat sebarang]} \end{align*}

    akan ditunjukkan bahwa untuk n = k + 2 benar, yaitu

        \begin{align*} n(n^2 + 2)&=n^3+ 2n\\ &= (k+2)^3+ 2(k+n)\\ &= k^3+ 6k^2+ 12k+8+2k+4\\ &= (k^3+ 2k)+ 6k^2+ 12k+12\\ &= b+6(k^2+ 2k+2) \end{align*}

    Maka, n=1 benar
    Kesimpulan: 1\mid n(n^2+ 2) benar, \forall n\in bilangan asli ganjil

  4. Buktikan dengan induksi matematika bahwa untuk semua bilangan asli ganjil n, (1 + x)^n \ge 1 + nx
    Jawaban:
    Akan dibuktikan dengan induksi bahwa  (1 + x)^n \ge 1 + nx, \froall n\in bilangan asli ganjil
    Perhatikan bahwa
    Akan ditunjukkan bahwa untuk n = 1 benar, yaitu

        \begin{align*} (1 + x)^1 &\ge1+(1)x\\ &=1+x \end{align*}

    Maka, n=1 benar
    Asumsikan bahwa untuk n = k benar, yaitu
    (1 + x)^k \ge 1 +kx
    Akan ditunjukkan untuk n = k + 2 benar, yaitu

        \begin{align*} (1+x)^{k+2}&\ge (1 + x)^k(1+x)\\ &\ge (1 + kx) (1 + x)^2 &[(1 + x)^k \ge 1 +kx]\\ &\ge (1 + kx) (x^2+2x + 1) \\ &= x^2 + 2x +1 +kx^3+2kx^2+kx\\ &\ge kx^3+ (1+2k)x^2+(2+k)x +\\ &\ge 0 + 0 + (2 +k)x + 1 &[(2k+1)x^2\ge 0 \wedge kx^3\ge 0]\\ &\ge 1 + (2+k)x\\ &\ge 1 + (k+2)x \end{align*}

    Maka, n=k+2 benar
    Kesimpulan:  (1 + x)^n \ge 1 + nxbenar, \forall n\in bilangan asli ganjil

Mudah-mudahan bermanfaat 🙂

Have a nice read, readers

1 thought on “Pembuktian Soal Keterbagian menggunakan Induksi

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *