Nilai Mutlak

Pada post kali ini, author menulis tentang Definisi nilai mutlak, sifat-sifat nilai mutlak, dan berbagai contoh soal nilai mutlak serta pembahasannya

Definisi Nilai Mutlak

Nilai mutlak a, dinotasikan dengan \left |a\right |=a
\left |a\right |=a jika a\ge 0
\left |a\right |=-a jika a< 0

Contoh pengaplikasian definisi diatas (persamaan nilai mutlak)

  1. \left |x-4\right | = 7
    Penyelesaian:

        \begin{align*} x-4&=7\\ x&=7+4&\text{[ditambah 4]}\\ x&=11 \end{align*}

    dan

        \begin{align*} x-4&=-7\\ x&=-7+4&\text{[ditambah 4]}\\ x&=-3 \end{align*}

    Maka, HP=(-3,11)

  2. \left |2x-5\right | =\left |x-2\right |
    Penyelesaian:

        \begin{align*} 2x-5&=x-2\\ 2x-x&=-2+5\\ x&=3 \end{align*}

    dan

        \begin{align*} 2x-5&=-(x-2)\\ 2x-5&=-x+2\\ 2x+x&=2+5\\ 3x&=7\\ x&=\frac{7}{3}\\ x&=2\frac{1}{7} \end{align*}

    Maka, HP=(2\frac{1}{7},3)

Pada nilai mutlak berlaku pula:
Jika a\ge 0, maka

  • \left |x\right |\le a \iff-a\le x\le a\iff x^2\le a^2
  • \left |x\right |\ge a\iff x\le -a atau x\ge a

Contoh pengaplikasian nilai mutlak seperti diatas (pertidaksamaan nilai mutlak)

Soal no. 1-5 dibawah ini, diambil dari soal no. 35-39 buku kalkulus purcell masalah 0.2

  1. \left |x-2\right | \ge 5
    Penyelesaian:

        \begin{align*} x-2&\ge 5\\ x&\ge 5+2 &\text{[ditambah 2]}\\ &\ge 7 \end{align*}

    dan

        \begin{align*} x-2&\le 5\\ x&\le -5+2 &\text{[ditambah 2]}\\ &\le -3 \end{align*}

    Notasi Himpunan
    HP={x|x\le -3 dan x\ge 7}
    Garis bilangan (Grafik)

    Notasi Interval
    (-\infty,-3]\cup [7,\infty)

  2. 2 \left |4x+5\right | \le 10
    Penyelesaian:
    -10\le 4x+5\le 10
    -10-5\le 4x\le 10-5
    \frac{-15}{4}\le x\le \frac{5}{4}
    -3\frac{3}{4}\le x\le 1\frac{1}{4}
    Notasi Himpunan
    HP={x| -3\frac{3}{4}\le x\le 1\frac{1}{4}}
    Garis bilangan (Grafik)

    Notasi Interval
    [-3\frac{3}{4},1\frac{1}{4}]
  3. \left |\frac{2x}{7}-5\right | \ge 7
    Penyelesaian:

        \begin{align*} \frac{2x}{7}-5 &\ge 7\\ \frac{2x}{7} &\ge 7+5&\text{[ditambah 5]}\\ 2x&\ge 12(7)\\ x&\ge \frac{84}{2}\\ x&\ge 42 \end{align*}

    dan

        \begin{align*} \frac{2x}{7}-5 &\le -7\\ \frac{2x}{7} &\ge -7+5&\text{[ditambah 5]}\\ 2x&\ge -2(7)\\ x&\ge \frac{-14}{2}\\ x&\ge -7 \end{align*}

    Notasi Himpunan
    HP={x|x\le -7 dan x\ge 42}
    Garis bilangan (Grafik)

    Notasi Interval
    (-\infty,-7]\cup [42,\infty)

  4. \left |5x-6 \right| > 1
    Penyelesaian:

        \begin{align*} 5x-6&>1\\ 5x&>1+6&\text{[ditambah 6]}\\ x&>\frac{7}{5}\\ x&>1\frac{2}{5}\\ \end{align*}

    dan

        \begin{align*} 5x-6&<-1\\ 5x&<-1+6&\text{[ditambah 6]}\\ x&<\frac{5}{5}\\ x&<1 \end{align*}

    Notasi Himpunan
    HP={x|x< 1 dan x> 1\frac{2}{5}}
    Garis bilangan (Grafik)

    Notasi Interval
    (-\infty,1)\cup (1\frac{2}{5},\infty)

  5. \left |\frac{1}{x}-3 \right | > 6
    Penyelesaian:

        \begin{align*} \frac{1}{x}-3&>6\\ \frac{1}{x}&>6+3&\text{[ditambah 3]}\\ x&<\frac{1}{9} \end{align*}

    dan

        \begin{align*} \frac{1}{x}-3&<-6\\ \frac{1}{x}&<-6+3&\text{[ditambah 3]}\\ x&>\frac{1}{-3} \end{align*}

    Notasi Himpunan
    HP={x|-\frac{1}{3}<x<\frac{1}{9}}
    Garis bilangan (Grafik)

    Notasi Interval
    (-\frac{1}{3},\frac{1}{9})

Perhatikan perbedaan antara no.1-3 dan no. 4-5
pada no. 1-3 titik yang diperoleh termasuk penyelesaian (sehingga titik terisi dan menggunakan kurung siku), sedangkan no. 4-5 titik yang diperoleh tidak termasuk penyelesaian (sehingga titik tidak terisi dan menggunakan kurung biasa)
dan untuk
-\infty dan \infty menggunakan kurung biasa

Sifat-sifat Nilai Mutlak

Untuk setiap bilangan real x berlaku

  • \left |x \right |\ge 0
  • \left |x \right |=\left |-x \right |
  • -\left |x \right |\lex\le\left |x \right |
  • \left |x \right |^2=\left |x^2 \right |=x^2

Untuk setiap bilangan real x dan y berlaku

  • \left |x \right |=\left |y \right |\iffx=y\iffx^2=y^2
  • \left |x-y \right |=\left |y-x \right |

Ketaksamaan segitiga
Untuk setiap bilangan real x dan y berlaku

  • \left |x+y \right |\le \left |x |\right+|\left y \right |
  • \left |x-y \right |\le \left |x |\right+|\left y \right |
  • \left |x \right|-\left |y \right|\le \left |x-y \right |
  • \left |\left |x \right|- \left |y\right| \right|\le \left |x-y \right |

Untuk setiap bilangan real x dan y berlaku

  • \left |xy \right |=\left |x \right |\left |y \right |
  • \left |\frac{x}{y} \right |=\frac{\left| x \right |}{\left |y \right |}, y\neq 0

Soal no. 1-4 dibawah ini, diambil dari soal no. 49, 51, 53-54 buku kalkulus purcell masalah 0.2

  1. \left |x-3\right |<0,5 \iff \left |5x-15\right |<2,5
    Penyelesaian:

        \begin{align*} \left |x-3\right |<0,5 &\iff 5\left |x-3\right |<5(0,5)&\text{[dikali 5]}\\ &\iff \left |5\right |\left |x-3\right |<2,5\\ &\iff \left |5(x-3)\right |<2,5\\ &\iff \left |5x-15\right |<2,5 \end{align*}

  2. \left |x-2\right |<\frac{\varepsilon}{6} \iff \left |6x-12\right |<\varepsilon
    Penyelesaian:

        \begin{align*} \left |x-2\right |<\frac{\varepsilon}{6} &\iff 6\left |x-2\right |<6(\frac{\varepsilon}{6})&\text{[dikali 6]}\\ &\iff \left |6\right |\left |x-2\right |<\varepsilon\\ &\iff \left |6(x-2)\right |<\varepsilon\\ &\iff \left |6x-12\right |<\varepsilon \end{align*}

  3. \left |x-5\right |<\delta \iff \left |3x-15\right |<\varepsilon
    Penyelesaian:

        \begin{align*} \left |x-5\right |<\delta &\iff 3\left |x-5\right |<3(\delta)&\text{[dikali 3]}\\ &\iff \left |3\right |\left |x-5\right |<3\delta\\ &\iff \left |3(x-5)\right |<3\delta\\ &\iff \left |3x-15\right |<3\delta \end{align*}

    Pilih \delta=\frac{\varepsilon}{3}
    Sehingga,
    \left |x-5\right |<\delta \iff \left |x-5\right |< \frac{\varepsilon}{3}\iff \left |3x-15\right |<\varepsilon

  4. \left |x-2\right |<\delta \iff \left |4x-8\right |<\varepsilon
    Penyelesaian:

        \begin{align*} \left |x-2\right |<\delta &\iff 4\left |x-2\right |<4(\delta)&\text{[dikali 4]}\\ &\iff \left |4\right |\left |x-2\right |<4\delta\\ &\iff \left |4(x-2)\right |<4\delta\\ &\iff \left |4x-8\right |<4\delta \end{align*}

    Pilih \delta=\frac{\varepsilon}{4}
    Sehingga,
    \left |x-2\right |<\delta \iff \left |x-2\right |< \frac{\varepsilon}{4}\iff \left |4x-8\right |<\varepsilon

Soal no. 1-4 dibawah ini, diambil dari soal no. 59-62 buku kalkulus purcell masalah 0.2

  1. \left |x-1\right |<2|\left x-3 |\right
    Penyelesaian:

        \begin{align*} (x-1)^2&<(2(x-3))^2\\ x^2-2x+1&<4(x^2-6x+9)\\ x^2-2x+1&<4x^2-24x+36\\ -3x^2+22x-35&<0\\ 3x^2-22x+35&<0\\ (3x-7)(x-5)&>0 \end{align*}

    titik yang membagi daerah yaitu x=\frac{7}{3}=2\frac{1}{3} dan x=5
    Sehingga diperoleh
    (2\frac{1}{3},5)
    yaitu dengan melakukan pengujian pada salah satu titik diantara titik yang diperoleh (usahakan mengambil titik pengujian yang paling memudahkan kita)
    Misalnya titik x=0 disubtitusi pada soal, yaitu

        \begin{align*} \left |0-1\right |&<2|\left 0-3 |\right\\ \left |-1\right |&<2|\left -3 |\right\\ 1&<2(3)\\ 1&<6&\text{[Benar]} \end{align*}

    Sehingga,
    (-\infty,2\frac{1}{3})\cup(5,\infty)

    Kenapa kita hanya menguji satu titik saja?
    Karena tidak ada titik batas yang sama
    (biasanya hal seperti ini terjadi jika titik batas lebih dari 2, misalnya x_1=2, x_2=2, dan x_3=3)

  2. \left |2x-1\right |<\left |x+1\right |
    Penyelesaian:

        \begin{align*} (2x-1)^2&\ge (x+1)^2\\ 4x^2-4x+1&\ge x^2+2x+1\\ 3x^2-6x&\ge 0\\ 3x(x-2)&\ge 0 \end{align*}

    Titik yang membagi daerah yaitu x=0 dan x=2
    Dengan melakukan pengujian pada salah satu titik seperti pada soal sebelumnya
    Diperolehlah
    [0,2]

  3. 2\left |2x-3\right |<\left |x+10\right |
    Penyelesaian:

        \begin{align*} (2(2x-3))^2&<(x+10)^2\\ 4(4x^2-12x+9)&<x^2+20x+100\\ 16x^2-48x+36&<x^2+20x+100\\ 15x^2-68x-64&<0\\ (5x+4)(3x-16)&<0 \end{align*}

    Titik yang membagi daerah yaitu x=\frac{-4}{5} dan x=\frac{16}{3}=5\frac{1}{3}
    Dengan melakukan pengujian pada salah satu titik seperti pada soal sebelumnya
    Diperolehlah
    (-\frac{4}{5},5\frac{1}{3})

  4. \left |3x-1\right |<2\left |x+6\right |
    Penyelesaian:

        \begin{align*} (3x-1)^2&<(2(x+6))^2\\ 9x^2-6x+1&<4(x^2+12x+36)\\ 9x^2-6x+1&<4x^2+48x+144\\ 5x^2-54x-143&<0\\ (5x+11)(x-13)&<0 \end{align*}

    Titik yang membagi daerah yaitu x=-\frac{11}{5}=-2\frac{1}{5} dan x=13
    Dengan melakukan pengujian pada salah satu titik seperti pada soal sebelumnya
    Diperolehlah
    (-2\frac{1}{5},13)

Soal dibawah ini merupakan soal no. 69 buku kalkulus purcell masalah 0.2

Buktikan bahwa
|\left x\right |\le 1\to |\left x^4+\frac{1}{2}x^3+\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{8}x+\frac{1}{16}\right |<2
Penyelesaian:

    \begin{align*} \left |x^4+\frac{1}{2}x^3+\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{8}x+\frac{1}{16}\right |&<\left |x^4|\right+\left | \frac{1}{2}x^3\right |+\left | \frac{1}{4}x^2\right |+\left | \frac{1}{8}x\right |+\left | \frac{1}{16}\right |\\ &<\left | x^4\right |+\left | \frac{1}{2}\right | \left | x^3\right |+\left | \frac{1}{4}\right | \left |x^2\right |+\left |\frac{1}{8}\right |\left | x|\right+|\left \frac{1}{16}\right |\\ &<\left | x^4\right |+ \frac{1}{2} |\left x^3\right |+ \frac{1}{4} \left | x^2\right |+ \frac{1}{8} \left | x\right |+\left | \frac{1}{16}\right |\\ &<1+\frac{1}{2}(1)+\frac{1}{4}(1)+\frac{1}{8}(1)+\frac{1}{16}\\ &<1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}\\ &<\frac{16}{16}+\frac{8}{16}+\frac{4}{16}+\frac{2}{16}+\frac{1}{16}\\ &<\frac{16+8+4+2+1}{16}\\ &<\frac{31}{16}\\ &<\frac{32}{16}\\ &<2 \end{align*}

Jadi, terbukti bahwa
|\left x\right |\le 1\to|\left x^4+\frac{1}{2}x^3+\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{8}x+\frac{1}{16}\right |<2

Kurangnya mohon dimaafkan
Mudah-mudahan bermanfaat
Have a nice read, readers 🙂

Tinggalkan Balasan

Alamat email Anda tidak akan dipublikasikan. Ruas yang wajib ditandai *